Г Л А В А II
Эта двух-голосовая инвенция вдохновила меня на создание двух основных персонажей книги. Коль скоро Льюис Кэрролл позволял себе вольности с черепахой и Ахиллом Зенона, так и я позволил себе вольность в обращении с Черепахой и Ахиллом Льюиса Кэрролла. В диалоге Кэрролла одна и та же цепочка событий повторно происходит много раз, только каждый раз на более и более высоком уровне. Это замечательная аналогия Постоянно нарастающего канона Баха. Но главное - Кэрролл, с присущим ему остроумием, ставит здесь глубокую философскую проблему: действительно слова и мысли вытекают из формальных правил, или это не так? Этот вопрос - главный вопрос этой книги.
Здесь и в следующих главах мы будем видеть несколько новых формальных систем. Это расширит наши представления о концепции формальных систем и уже в конце этих двух глав вы должны иметь весьма неплохое представление относительно возможностей формальных систем и понять, почему они интересуют математиков и логиков.
Формальная система данной главы называется pq-системой. Эта система не представляет никакого интереса для математиков и логиков. На самом деле она - мое личное изобретение, и ее ценность только в том, что на ней можно продемонстрировать многие идеи, которые играют важную роль в этой книге.
Имеются три различных символа системы:
GEB
Дуглас Р. Хофштадтер.
[ предыдущая ]
[ оглавление ]
[ следующая ]
Перевод Александра Семенова
Содержание и форма
в математике.
буквы р, q и символ дефис.
Рq-система имеет бесконечное число аксиом. Поскольку мы не можем выписать все аксиомы в столбик, должен иметься иной путь их описания. На самом деле нам необходимо не просто описание аксиом. Нам нужен способ, выяснить является ли любая произвольно взятая нами цепочка аксиомой или нет. Простое описание, хотя и могло бы характеризовать аксиомы полностью, но все же нас не устроит. Ведь как быть с тем способом, которым характеризовались теоремы MIU-системы? Мы не хотели бы тратить неопределенный, возможно бесконечный, отрезок времени, только на то, чтобы выяснить, является некоторая цепочка аксиомой или нет. Поэтому мы определим аксиомы таким способом, что бы имелась очевидная разрешающая процедуру на аксиомность любой цепочки составленной из символов q, p и дефисов.
- Определение: xp_ qx_ является аксиомой, всякий раз, когда x состоит из одних только дефисов.
Обратите внимание, что 'x' должен стоять вместо той же самой подцепочки дефисов, в обоих случаях своего возникновения. Например _ _ p_q _ _ _ является аксиомой. Символьное же выражение 'xp_qx _', естественно, не аксиома (потому что 'x' не принадлежит pq-системе). Эта наша запись, скорее, почва из которой произрастают все аксиомы, и она называется схемой аксиом.
Pq-система имеет только одно правило вывода:
Правило: Предположим что x, y и z стоят вместо специфических подцепочек, состоящих исключительно из дефисов. Теперь предположим, что xpуqz -теорема. Тогда xpу _ qz _ - тоже теорема.
Например, x - это подцепочка '_ _', y - подцепочка ' _ _ _ ', а z - соответственно, цепочка '_'
Тогда наше правило гласит:
Если _ _ p _ _ _ q _ - теорема, то цепочка _ _ p _ _ _ _ q _ _ - тоже теорема.
Как обычно, правило вывода устанавливает "генетическую" связь между двумя цепочками, но никогда не утверждает принадлежность любой из них к теоремам.
Наиболее поучительным упражнением для вас, было бы найти разрешающую процедуру для pq-ситемы. Это не трудно. Если вы поразмышляете над этим, то ваши усилия через некоторое время наверняка будете вознаграждены. Попробуйте!
Разрешающая Процедура
Предполагаю, что вы попробовали найти разрешающую процедуру. Прежде всего (хотя это может показаться для упоминания слишком очевидным) следует указать следующее. Каждая теорема pq-системы имеет три отдельных группы дефисов и отделяющие их элементы - сначала один символ p, а потом один символ q, расположенные именно в таком порядке. Это можно обосновать, опираясь на "наследственность", таким же способом, как мы показали, что все теоремы MIU-системы начинаются с символа M. Значит, мы можем исключить все цепочки, кроме всех цепочек этой формы. Например, мы можем сразу исключить такую цепочку:
_ _ p _ _ p _ _ p _ _q _ _ _ _ _ _ _ _ .
Теперь выделив фразу "все одной формы", может показаться глупым, спрашивать какие еще могут у нас остаться цепочки кроме тех, которые имеют эту форму? Что еще могло бы играть роль при определении ее свойств? Ясно, что больше ничего! Но имейте в виду, при обсуждении формальных систем, понятие "форма" становиться более сложным и абстрактным и мы должны будем больше уделять внимание значению термина "форма". В любом случае, позвольте мне давать термин правильно построенная цепочка, любой цепочке, которая начинается с группы дефисов, потом имеет один символ p, далее группа дефисов, затем один символ q, и опять- группа дефисов.
Но вернемся к разрешающей процедуре... Универсальным критерием для отнесения цепочки к теоремам является то, что первые две группы дефисов в сумме должны содержать столько же дефисов, сколько в последней группе дефисов.
Например _ _ p _ _ q _ _ _ _ является теоремой, так как 2 плюс 2 равняется 4, в то же время _ _ p _ _ q _ - не теорема, так как 2 плюс 2 не 1. Назовем его "критерием сложения". Посмотрим, почему это - надежный критерий. Для начала, взглянем на схему аксиом. Очевидно, что схема порождает только такие аксиомы, которые удовлетворяют критерию сложения. Во-вторых, смотрите на правило вывода. Если первая (исходная) цепочка в нашем правиле вывода удовлетворяет критерию сложения, то и вторая (полученная из первой) должна удовлетворять. И наоборот, если первая цепочка не удовлетворяет критерию сложения, то и вторая не будет этому критерию удовлетворять. Правило вывода делает этот признак наследственной собственностью теорем: любая теорема передает его своему потомку. Вот почему критерий сложения - правильный.
Имеется, между прочим, факт относительно pq-системы, который позволил бы нам уверенно говорить, что система наверняка имеет разрешающую процедуру до того, как мы обнаружили критерий сложения. Этот факт в том, что pq-система не усложнена противоположно друг другу направленными группами правил удлинения и сокращения цепочек. Имеется только удлиняющее правило. Любая формальная система, предписывающая как делать более длинные теоремы из более коротких, но никогда не сокращает длину цепочек, обязательно должна иметь разрешающую процедуру для своих теорем. Давайте предположим, что вам дают цепочку символов. Сначала проверьте, является ли она аксиомой или нет (я предполагаю, что имеется разрешающая процедура для проверки на аксиомность, иначе наше дело - безнадежно). Если это аксиома, то она, по определению, является теоремой и проверка закончена. Но предположим, что это не аксиома. Тогда, что бы быть теоремой, эта цепочка должны была бы произойти от более коротких цепочек с помощью одного из правил системы.
Пробегая через различные правила, одно за другим, вы можете точно определить не только те правила, которые могли произвести эту теорему, но так же кратчайшую цепочку на "генеалогическом дереве" от которой она могла бы произойти. Таким образом, вы редуцируете проблему до того, что бы определять, является ли любая из нескольких новых, но более коротких цепочек теоремой. Каждая же из них, в свою очередь, может быть подвергнута такому же анализу и так далее. Самое худшее, что может случиться - это будет лавинообразно увеличиваться числа более коротких цепочек, каждую из которых надо так же проверять. Но поскольку вы все же продолжаете упорно двигаться назад таким способом, в конце концов, вы неизбежно приблизиться к источнику всех теорем - схеме аксиом. Вы не можете бесконечно получать все более короткие и короткие цепочки. Поэтому, в конечном счете, вы или обнаружите, что одна из полученных вами коротких цепочек - аксиома, либо вы в итоге достигните ситуации, когда просто упретесь в тупик. Окажется, что ни одна из полученных вами более коротких цепочек не может далее укорачиваться с помощью обращения того или иного правила. Поэтому нет особо глубокой тайны в формальных системах, правила которых только удлиняют цепочки. Глубина возникает во взаимодействии удлиняющих и укорачивающих правил. Именно это привносит в формальные системы некоторое обаяние.
"Снизу вверх" против "сверху вниз"
Описанный выше метод можно назвать нисходящей разрешающей процедурой, и является противоположностью процедуры восходящей, работу которой я опишу теперь. Она очень напоминает метод, которым джин методично воспроизводил теоремы MIU-системы. Но ситуацию осложняет присутствием схема аксиом. Поэтому сначала мы представим себе "ковш", в который мы будем "бросать" теоремы по мере того, как они будут произведены. Далее все происходит так:
- 1a. Бросаем в ковш самую простую из возможных аксиом ( _ p _ q _ _ ).
1b. Применяем правило вывода (а в общем случае каждое применимое правило) к тому, что находится в ковше. Результат помещаем в ковш.
- 2a. Бросаем вторую, из простейших аксиом в ковш.
2b. Применяем правило вывода к каждому объекту, что находится в ковше. Результаты бросаем в ковш.
- 3a. Бросаем третью, из простейших аксиом в ковш.
3b. Применить правило вывода к каждому объекту, что находится в ковше. Результаты бросают в ковш.
* Следует, наверное, уточнить, что на каждом новом шаге в ковше помещаются только вновь полученные теоремы. Т.е. теоремы сначала "вытряхиваются" из ковша все до одной. Потом к ним примеряют правила, и если они применимы, новая теорема отправляется в ковш. В результате на N-ом шаге мы имеем N-нное поколение теорем от первой аксиомы, N-1 поколение от второй, N-2 от третьей и т.д. Кроме того, в ковш подбрасывается очередная, N -я по счету аксиома. Прим А. С.
Важным моментом является то, что, пользуясь этим способом, вы неизбежно рано или поздно произведете каждую теорему системы. Более того, ковш становиться заполненным все более и более длинными теоремами по мере вашего продвижения в работе. Это, опять же, последствия того, что у нас нет сокращающих правил. Так, если вы имеете некую цепочку, например _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _, и хотите ее проверить на принадлежность к множеству теорем, то следуйте выше описанным шагам и при этом сравнивайте каждую вновь произведенную цепочку с проверяемой. Если совпадение произойдет, то ваша цепочка - теорема! Если же в некоторый момент все, что идет в ковш окажется более длинным, чем испытываемая цепочка, выкинет ее. Она - не теорема!
Изоморфизмы порождают смысл
Теперь мы приблизились к главной теме этой главы (а в действительности - главной теме этой книги). Возможно, вас уже не раз посещала назойливая мысль, мол, собственно говоря, pq-теорема очень напоминает суммирование.
Что нас заставляет это чувствовать? Мой ответ - мы ощущаем изоморфизм между qp-теоремами и вычислением суммы двух чисел. Во Введении, я определил значение термина "изоморфизм", как "преобразование при котором сохраняется содержание информации". Теперь мы можем вникнуть в содержание этого понятия глубже и увидеть его совсем с другой стороны. Слово "изоморфизм" применяется, когда две сложных структуры могут быть отображены (спроецированы) друг на друга таким образом, что каждой части одной структуры соответствует некоторая часть другой. При этом "соответствует" означает, что каждая из этих двух частей играют подобные роли в своей структуре. Такое понимание термина "изоморфизм" вытекает из более точного значения его в математике.
Для математика большая радость обнаружить изоморфизм между двумя структурами, каждая из которые ему известны отдельно. Очень часто такое ощущение возникает как неожиданность, вспышка молнии, озарение. Такая "вспышка" - особый источник наслаждения. Восприятие изоморфизма между двумя известными структурами обычно оказывается существенным прогрессом в систематизации уже накопленных знаний. И я утверждаю, что именно ощущение изоморфизма вызывает то самое чувство понимания у людей, которое они всякий раз отчетливо испытывают.
Но в нашем случае мы имеем превосходный образец для наглядной демонстрации концепции изоморфизма. Во-первых мы имеет "разноуровневый" изоморфизм - то есть проекцию между двумя структурами:
Такая символьно-словесное соответствие имеет наименование - интерпретация
Когда вы впервые знакомитесь с некой формальной системой, вы не знаете о ней ничего. И если вы надеетесь обнаружить некоторое скрытое значение в ней, то ваша первейшая задача - произвести интерпретацию символов системы каким-либо разумным способом. То есть, нужна такая интерпретация, что бы на более высоким уровнем вырисовалось соответствие между истинными утверждениями и теоремами формальной системы. Вы можете сделать несколько предварительных попыток наугад прежде чем обнаружите хороший набора слов, связанных с символами. Это очень похоже на попытку взломать код или расшифровать надпись на незнакомом языке, подобно линейному письму B острова Крит. Единственный способ продвинуться - способ проб и ошибок, способ компетентных догадок, опирающихся на факты.
Бессмысленные и осмысленные интерпретации.
Вы можете выбрать иную интерпретацию, чем ту, которую предложил я. Вам не обязательно непременно интерпретировать каждую теорему как истинную. Но имеется мало причин делать интерпретацию, в которой, скажем, все теоремы получились бы ложными. И, конечно же, еще меньше причин делать интерпретацию, для которой нет никакой связи с реальностью вообще. Такую интерпретацию где нет ни положительной, ни отрицательной связи между теоремами и здравым смыслом. Поэтому давайте будем делать различие между двумя типами интерпретаций формальных систем. Для начала можем сделать бессмысленную интерпретацию, в которой мы не в состоянии увидеть какую-либо изоморфную связь теорем с реальностью. Таких интерпретаций найдется в изобилии. Вообще говоря, любой случайный выбор приведет нас к цели.
Например, возьмем такую:
Теперь _ p _ q _ _ приобретает новую интерпретацию: "яблоко лошадь яблоко счастливый яблоко, яблоко". Похоже на поэтические сантименты, обращенные к лошади и, возможно, способные вдохновить ее. Надеюсь, это оправдает наш способ интерпретации pq-цепочки. Однако такая интерпретация имеет крайне небольшую "содержательность". В ней любая теорема звучит не более правдоподобно, чем любая не теорема. Все звучат одинаково хорошо! Лошадь могла бы наслаждаться поэтическим слогом типа "счастливая, счастливая, счастливая яблоко лошадь" (отображается на не теорему qqq _ p) с не меньшим энтузиазмом, чем строкой, полученной из теоремы.
Другой вид интерпретации будем называть содержательным. В такой интерпретации теоремы имеют некоторую связь с реальностью, то есть существует изоморфизм между теоремами и некоторой частью действительности. Поэтому хорошо различается интерпретация и ее содержание. Конечно любое известное слово может использоваться как интерпретация для 'p', но только "плюс" - единственный осмысленный выбор, который мы смогли придумать. В итоге значением 'p' кажется "плюс", хотя этот символ может иметь миллионы интерпретаций.
Активное содержание против пассивного
Возможно, наиболее существенным фактом этой главы, если глубоко задуматься, является следующее: pq-система как будто вынуждает нас признать содержательную глубину символов формальной системы, хотя первоначально ее символы казались бессмысленными. Просто нельзя не прийти к такому заключению, если вами обнаружен изоморфизм. Но различие между содержанием в формальных системах и содержанием в языке, однако, очень важное. В языке, когда мы узнаем значение слова, мы начинаем делать новые утверждения основанные на этом содержании. В некотором смысле содержание становится активным, так как с ним, помимо существующих, привносятся новые правила для построения новых сентенций. Это означает, что наша способность владеть языком мало напоминает законченный продукт:
В MIU-системе, конечно, не было никакого соблазна выходить за рамки четырех правил. Потому что никакая интерпретация не бросалась нам в глаза и не была найдена. Но здесь, в нашей новой системе, мы легко могли бы соблазниться недавно найденным "смыслом" каждого символа и "расширить" круг теорем, полагать, что и цепочка
Двусмысленность!
Теперь я хочу вырубить под корень всякую иллюзию относительно того, что якобы объективно имеется некоторый смысл у символов pq-системы. Рассмотрим следующую ассоциацию:
Теперь _ _ q _ _ _ q _ _ _ _ _ имеет новую интерпретацию "2 остается, если 3 вычесть из 5". Конечно это истинное утверждение. Все теоремы тоже будут истинными в этой новой интерпретации. Она так же наделена смыслом, как и старая. И очевидно глупо спрашивать: "А которая из интерпретаций на самом деле отражает содержание цепочки?" Интерпретация будет осмыслена в том объеме, в каком она отражает изоморфизм с реальным миром. Когда различные аспекты реального мира изоморфны друг другу (в нашем случае сложение и вычитание), то одна формальная система может быть изоморфна к обеим и поэтому может приобретать два пассивных содержания. Эта двойная значимость символов и цепочке - очень важное явление. Здесь это может казаться тривиальным, любопытным, раздражающим. Но мы к этому вернемся в более глубоком контексте, и это еще принесет огромное изобилие идей.
Давайте подведем итог относительно pq-системы. При любой из двух интерпретаций, каждая правильно построенная цепочка, чисто грамматически, относится либо к истинным, либо к ложным утверждениям. Идея относительно правильно построенных цепочек в любой формальной системе состоит в том, что они являются теми цепочками, в которых если интерпретировать символ за символом, то вырастает грамматически верное выражение. (Конечно, это зависит от интерпретации, но обычно, это всегда имеется ввиду). И так, среди правильно построенных цепочке встречаются теоремы. Они определяются схемой аксиом и правилами вывода. Преследуемая мною цель, при изобретении pq-системы, состояла в том, чтобы подрожать сложению: я хотел, чтобы каждая теорема при интерпретации выражала истинные утверждение о сумме двух чисел. И наоборот: я хотел, чтобы суммирование двух положительных целых чисел было представлено как цепочка символов, которая будет теоремой. Эта цель была достигнута. Поэтому заметьте, все ложные утверждения о суммах типа "2 плюс 3 равно 6" соответствуют цепочкам, которые хотя и являются правильно построенными, но не являются теоремами.
Реальность и формальные системы
Здесь мы впервые встречаемся со случаем формальной системы частично базирующейся на объективной реальности, и, кажется, подражает ей совершенно. Теоремы этой системы изоморфны истинам этой части действительности. Однако действительность и формальные системы независимы. Никто не обязан знать, что имеется изоморфизм между ними. Каждая из них - сама по себе. Один плюс один равняется два. Но действительно ли мы знаем что _ p _ q _ _ является теоремой? И если _ p _ q _ _ является все же теоремой, то какое отношение это имеет к арифметическому сложению?
Вы могли бы задаться вопросом: тот, кто делает эту формальную систему или любую другую, проливает ли новый свет на истины в области интерпретации или нет? Мы узнали, что-либо новое о сумме двух чисел построив pq-систему? Конечно нет! Но мы узнали нечто новое относительно природы суммирования как процесса, а именно: суммирование легко имитируется с помощью типографских правил манипуляции бессмысленными символами. Но это по-прежнему не должно вызывать большого удивления. Так как суммирование достаточно простая идея. Это достаточно банальный факт, что процесс суммирования может быть реализован в хитросплетенных механизмах подобных кассовому аппарату.
Но ясно, что мы едва коснулись поверхности той бездны, в толщу которой уходят громады формальных систем. Естественно задать вопрос относительно того, а не является ли некоторая часть нашей реальности похожей в своем поведении на набор бессмысленных символов, с которыми манипулируют по некоторым формальным правилам? Может быть, и вся наша действительность является некой формальной системой? В очень широком смысле, ответ мог бы, кажется, быть положительным. Можно предположить, например, что наша реальность - это обособленная, очень сложная формальная система. Ее символы не ложатся на бумагу, а скорее помещены в трехмерном пространстве. Это - элементарные частицы, из которых все в этом мире и состоит (Мы предполагаем, что в бесконечной цепи вопросов "из чего состоит. . . из чего состоит. . . из чего состоит. . .", имеется такой ответ, что термин "элементарная частица" имеет смысл). А "типографские правила" - это законы физики, которые сообщают как они изменятся, учитывая положение и скорость всех частиц. Каковы будут новое положение и скорости всех частиц-символов в "следующий" момент времен. Получается, что теоремы этой циклопической формальной системы - это возможные конфигурации всех частиц Вселенной в разные моменты времени на протяжении всей ее истории. Единственная аксиома (которая возможно была) - первоначальная конфигурация всех частиц в "начальный момент времени". Это грандиозная концепция, однако, она настолько велика, что имеет только теоретический интерес. Кроме того, квантовая механика (и другие разделы физики), бросают на нее, по крайней мере, несколько сомнений. Возникают сомнение даже в чисто теоретической возможность всего этого. По существу мы спрашиваем: является вся Вселенная в целом детерминированной системой? И этот вопрос остается открытым.
Математика и манипуляция с символами.
Вместо того, чтобы иметь дело с такой большой системой как Вселенная, давайте ограничимся математикой как "нашей реальностью". Здесь возникает серьезный вопрос. Допустим мы пробовали строить формальную систему в некоторой части математики. Как можно быть уверенным, что все выполнено правильно, особенно, если мы знакомы пока только на одну сотую процента с этой частью математики? Предположим что цель формальной системы - в том, чтобы получить новые знания в этой дисциплине. Как мы будем знать, что интерпретация каждой нашей теоремы истина? Если мы не доказали этого! Изоморфизм совершенен? И как мы докажем что изоморфизм совершенен, если мы даже не знаем всего относительно истины в данной дисциплине?
Предположим, что в раскопках, где-нибудь, мы фактически обнаружили некую таинственную формальную систему. Мы перепробовали бы различные интерпретации и возможно, наконец, натолкнулись бы на ту, которая, кажется, интерпретирует каждую теорему как истинную, а каждую не теорему - как ложь. Но это только то, что мы смогли проверить непосредственно на конечном числе случаев.
Так что позвольте мне кратко заглянуть в основы того, что позволяет назвать некоторые утверждения в теории чисел истиной, а другие - ложью. Сколько будет 12 умножить на 12? Каждый знает, что это 144. Но как много людей станут давать этот ответ, тратя свое личное время на рисование прямоугольника разбитого 12 по 12 клеток, а потом подсчитывая число получившихся маленьких квадратиков? Большинство людей расценили бы такой рисунок и подсчет как ненужный. Вместо этого они бы предложили в качестве доказательство несколько росчерков на бумаге, типа этого:
И это служило бы "доказательством". Почти каждый глубоко уверен, что если бы он считали квадратики, то результат получился бы тот же. И только малая часть людей думают, что неизбежность подобного совпадения может оказаться под сомнением.
Основные законы арифметики
Разновидность того, что я подразумеваю иллюстрировано ниже. Предположим, что вы воткнули в землю несколько палок:
Описанный выше метод - восходящая разрешающая процедура. Здесь поиск начинается с основания, состоящего из аксиом, и движется к проверяемой цепочке. Описанная же ранее процедура - нисходящая. Она действует наоборот. Поиск начинается с проверяемой цепочки и движется к основанию.
Цепочка _ _ p _ _ _ q _ _ _ _ _ является теоремой потому как 2 плюс 3 равняется 5. Возможно, даже, вам пришло на ум, что теорема _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _ является утверждением, сформулированным странным образом, но означающим что 2 плюс 3 -5. Насколько разумен такой взгляд на этот предмет? Хорошо, признаюсь, я преднамеренно выбрал символ "p" что бы намекнуть на термин "плюс", а символ "q" должен провацировать в вас ассоциацию с термином "equals" - равняется. Так что получается?
Цепочка _ _p _ _ _ q _ _ _ _ _ на самом деле расшифровывается как: "2 плюс 3 равно 5"?
И последнее что следует сказать о восприятии изоморфизмов: так как они проявляются, образно говоря, в разных формах и силе не всегда полностью ясно, когда вы действительно нашли изоморфизм. Таким образом "изоморфизм" - это термин со всей обычной для слов неопределенностью, которая есть их недостаток и преимущество одновременно.
p <==> плюс
q <==> равняется
_ <==> один
_ _ <==> два
_ _ _ <==> три
и т.д.
Во-вторых, на более высоком уровне, имеется соответствие между истинными утверждениями о суммах двух чисел и теоремами. Но, обратите внимание, это высоко-уровневое соответствие не может быт воспринято без предварительного выбора интерпретации для символов. Поэтому, было бы точнее назвать это соответствием между истинными утверждениями и интерпретируемыми теоремами. В любом случае мы показали двухуровневое соответствие, которое типично для всех изоморфизмов.
Когда вы находите хороший набор, "осмысленный" набор, внезапно много начинает сходиться, и вы чувствуете что ваш выбор - удачен. Вы движетесь в верном направлении. Ваша работа ускоряется чрезвычайно. Довольно скоро все становиться на свои места. Джон Чедвик описывал такое волнение, вспоминая о расшифровке линейной письменности B.
Но это более чем необычная ситуация, для нормального человека, оказаться на месте "дешифровщика" формальной системы, найденной в процессе раскопок разрушенной цивилизации! Математики (а еще раньше лингвисты, философы и некоторые другие специалисты) являются, чуть ли не единственными, кто использует формальные системы. И они всегда имеют интерпретацию своих формальных систем в своем сознании. Этой интерпретацией они пользуются сами и пытаются публично издать для других. Основные усилия этих людей направлены на то, чтобы создать формальную систему, теоремы которой изоморфно отражают некоторую часть действительности. В таком случае выбор символов хорошо мотивируется, как и выбор формальных (типографских) правил вывода. Когда я изобрел pq-систему, я был в таком положении. Вы видели, почему я выбрал символы, которые выбрал. Нет никакой случайности в том, что теоремы системы изоморфны сложению. Потому что я специально искал способ отразить сложение типографским способом.p <==> лошадь
q <==> счастливый
_ <==> яблоко
Количество правил для создания предложения увеличивается, когда мы изучаем некоторое новое понятие. С другой стороны в формальных системах теоремы жестко предопределены правилами вывода. Мы можем выбирать "смысл" основываясь на изоморфизме (если мы можем найти хотя бы один) между теоремами и истинными утверждениями. Но это не дает нам права выходить из системы и добавлять исходя из "здравого смысла" новые теоремы к формально выведенным. Именно относительно этого и предостерегало вас в главе I Требование Формальности.
_ _ p _ _ p _ _ p _ _ q _ _ _ _ _ _ _ _
так же является теоремой. Во всяком случае, можно было бы сожалеть, что эта цепочка не теорема. Но при всем желании, я не могу противиться факту. Это не теорема. И было бы серьезной ошибкой думать, что данная цепочка "должна" быть теоремой на том основании, что 2 плюс 2 плюс 2 равняется 8. Было бы даже заблуждением приписывать любой смысл этой строке вообще, так как она неверно построена, хотя наша смысловая интерпретация возникла из правильно выстроенных цепочек.
В формальной системе содержание должно оставаться пассивным. Мы можем читать каждую цепочку в соответствии со значением символов, из которых она состоит. Но мы не имеем права создавать новые теоремы только на основании смысла, который мы приписываем этим символам. Таким образом, интерпретируемые формальные системы мы могли бы расположить где-то посередине между бессмысленными системами и осмысленными. О символьных цепочках таких систем можно думать как о "подражании" реальности, но такое сходство должно вытекать исключительно из формальных свойств системы.
p <==> остается, если
q <==> вычесть из
_ <==> один
_ _ <==> два
и т.д.
Множество же теорем, скорее всего, бесконечно. Как мы будем знать, что все теоремы выражают истины в этой интерпретации, если мы не знаем все, что существует и относительно данной системы и относительно области ее интерпретации?
Именно в этом, несколько странном, положении мы окажемся, когда попытаемся сражаться за соответствие между природой натуральных чисел (то есть неотрицательных чисел 0, 1, 2, . . .) и формальными системами с типографскими символами. Необходимо понять, что мы называем "истиной" в теории натуральных чисел и чего мы можем добиться манипулируя символами. 1 2
X l 2
-----------
2 4
1 2
-----------
1 4 4
Конфликт между этими двумя противоположными точками зрения приобретает особую остроту, когда вы рассматривает результат произведения 987654321 на 123456789. Прежде всего, фактически, нет возможности построить соответствующий прямоугольник. Но что хуже, даже если вы его построите, и огромная армия людей потратит столетия, подсчитывая небольшие квадратики, только очень легковерный человек поверит в полученный ответ. Ведь очень вероятно, что где-нибудь, так или иначе, но кто-то напортачит при подсчете. Так можно ли, в конце концов узнать правильный ответ?! Если вы доверяете символическому процессу, который использует манипуляции над цифрами согласно четким и простым правилам, тогда можно. Если верите. Такой процесс детям представляют как некое устройство, из которого можно вынуть правильный ответ потерянный в процессе перетасовки. Для многих детей смысл процесса - сочетание. Законы манипуляции числами при умножении базируются всего на нескольких основных свойствах сложения и умножения, которые безоговорочно распространяются на абсолютно все числа.
Теперь вы начинаете считать их. В то же время кто-то другой считает их тоже, только с другого конца.
Будет ли это очевидным, что вы оба получите одинаковый ответ? Результат процесса подсчета не зависит от пути, которым это сделано. Это действительно, является предположением относительно природы того, что мы называем подсчетом. Было бы бессмысленным доказывать это, потому что это является настолько фундаментальным, что вы или видите это или нет. Но в последнем случае от каких-либо доказательств вам будет мало проку.
Такого же рода соображения приводят нас к коммутативности и ассоциативности сложения (то есть то, что всегда соблюдается равенство b + c = c + b, и то, что всегда соблюдается равенство b + (c + d) = (b + c) + d ). То же самое предположение можно ввести для коммутативности и ассоциативности умножения, только надо представьте множество кубиков, из которых собран большой куб. Умножение коммутативно и ассоциативно хотя бы потому, что если вы вращаете твердый куб различным способом число кубиков в нем не будет меняться. Эти предположения не поддаются проверке во всех возможных вариантах, потому что число таких случаев- бесконечно. Мы их допускаем, мы верим им (если мы когда-либо задумывались о них) так глубоко, как мы можем верить чему-либо еще. Количество денег не изменится у вас в кармане, если вы спускаетесь вдоль по улице. Проверьте это, теперь, двигаясь вверх и вниз. Число книг, которые мы имеем, не измениться, если мы упакуем их в короб, запихнем в автомобиль, провезем одну сотню миль, разгрузим короб, распакуем его, после чего расставим книги на новой полке. Все эти странные свойства и составляют природу того, что мы называем числом.
Есть такой особый типа людей, которые как только некоторый бесспорный факт записан, они находят забавным показывать, что "факт" в конце концов, ложен. Я - такой человек. И как только я записал все эти примеры с применением палок, денег и книг, я тут же изобрел ряд ситуаций, в которых они были неправильными. Вы, возможно, сделали тоже самое. Это демонстрирует, что абстрактные числа весьма отличаются от тех ежедневных "чисел", которыми мы пользуемся в конкретных жизненных ситуациях.
Люди любят изобретать высказывания, которые разрушают основы математики, но которые, якобы демонстрируют "более глубокие истины" типа "1 и 1 дает 1" (для влюбленных) или "1 плюс 1 плюс 1 становится 1" (Божественная троица). Вы можете легко найти дыры в "логике" этих лозунгов, показывая, например, почему использовать символ "плюс" в обоих случаях неуместно. Но такие случае распространены повсеместно. Две капли дождя скользят по оконному стеклу и соединяются в одну. Сумма двух дает единицу? Облако растекается на два отдельных облака - это свидетельствует о том же самом? Нисколько не легче провести четкую грань между случаями, где происходящее можно назвать "суммированием", а где следует использовать какое-то другое слово. Если вы задумаетесь над этим вопросом, то, возможно, придумаете некоторый обобщенный критерий, который обобщает различные случаи вместе и убеждает каждого ясно отличать одно от всего другого. Но как быть относительно самой идеи подсчета? Как насчет числа газов, составляющих атмосферу? Где-нибудь, если попробуете, вы наверняка сможете найти утверждения типа: ". . . в Индии разговаривают на 17-ти языках и 462 диалектах". Имеется что-то странное в подобных "точных" утверждениях, если концепция "языка" и "диалекта" сами по себе нечеткие!
Идеальные числа
Да, числа как объекты реального мира ведут себя далеко не идеально. Однако имеется древняя и даже врожденная уверенность людей, что числа не должны плохо себя вести. Есть что-то чистое и безупречное в абстрактном представлении о числах, удаленных от подсчета бусинок, диалектов или облаков. И должен иметься способ говорить относительно чисел без постоянного наличия несуразностей, которые вторгаются и просачиваются из нашей реальности. Ведь у нас есть четкие, однозначно понятные правила, которые управляют именно "идеальными" числами. Они составляют арифметику и ее более продвинутое продолжение - теорию чисел. И имеется только один разумный вопрос, который следует задать, что бы перейти от чисел в реальном мире к числам как формальным объектам.
Если мы решим капсулизировать (замкнуть) теорию чисел в идеальной системе, можем ли мы этого добиться на самом деле? Являются ли числа кристально чистыми и регулярными настолько, что их свойства могут быть полностью воспроизведены в правилах формальной системы?
Картина Освобождение (фигура 13), одна из красивейших работ Эшера, представляет разительный контраст между формальным и неформальным,
ФИГУРА 13. Освобождение. М. C. Эшер (1955).
а так же демонстрирует изумительную областью перехода.
Являются ли числа столь же свободными как птицы? Сильно ли они страдают от кристаллизации в оковах правил формальной системы? Имеется ли волшебная область между числами в жизни и числами на бумаге?
Когда я говорю о свойствах натуральных чисел, я не только имею в виду свойства типа суммы некоторой конкретной пары натуральных чисел. В конце концов, это может быть выяснено прямым подсчетом (хотя бы теоретически ) и всякий, кто вырос в этом столетии, не сомневается относительно возможности механизации таких процессов как подсчет, сложение, умножение и так далее. Но я имею в виду свойства такого вида, в исследован которых заинтересованы математики. Они ставят вопросы для ответа на которые никакой вычислительный процесс не применим. Даже теоретически не применим. Давайте возьмем классический пример такого свойства натуральных чисел. Вот утверждение: "Имеется бесконечное множество простых чисел *". Прежде всего, нет ни какого способа подсчета, в результате которого когда-нибудь подтвердилось или было опровергнуто данное утверждение. Лучшее что мы можем сделать - это находить новые и новые простые числа на протяжении некоторого времени, но все же признавая, что их там еще "много". Но никакой, сколь угодно упорный подсчет никогда не даст окончательный ответ на вопрос конечное или бесконечное их число. Всегда будет больше. Это утверждение называется "Теоремой Евклида" (обратите внимание на заглавную "Т"!) и оно совсем не очевидно. Оно может казаться убедительным или напротив выглядеть сомнительно, но оно неочевидно. Однако математики, со времен Евклида, всегда называют это истиной. С какой бы это стати?
* Простым называется такое натуральное число, которое делиться только на 1 и на само себя. Все остальные числа называются составными. Их можно получить умножением простых числа в разных комбинациях, то есть "составить" из простых. Пим А.С.
Доказательство Евклида
А все дело в том, что умозаключения представленные им убеждают, что это действительно так. Давайте проследим его рассуждения. Мы рассмотрим вариант доказательства Евклида. Это доказательство показывает, независимо то того, какое простое число вы выберете, найдется простое число большее чем это. Выберете число N. Перемножьте все положительные целые числа, начиная с 1 и заканчивая N. Другими словами подсчитайте факториал числа N, записывается "N!"*. Теперь ответьте, чего вы добьетесь делением полученного числа на каждое из чисел от 1 до N, если предварительно к N! прибавить всего лишь 1?
* N!=1*2*3*4*. . .*(N-2)*(N-1)*N Прим А. С.
N!+1 не делится без остатка на 2 (потому что при делении на 2 в остатке 1 )**
N!+1 не делится без остатка на 3 (потому что при делении на 3 в остатке1 )
N!+1 не делится без остатка на 4 (потому что при делении на 4 в остатке1 )
*
*
*
N!+1 не делится без остатка на N (потому что при делении на N в остатке, как вы можете заметить, 1)***
** Cлучай для 2 : (N!+1)/2 = N!/2+1/2 = [1*3*4*. . . *(N-1)*N] + 1/2 первое слагаемое - натуральное число, второе слагаемое - дробный остаток 1/2. Их сумма не натуральное число. Значит N!+1 без остатка на 2 не делиться! Прим. А.С.
*** Для любого k меньше N: (N!+1)/k = N!/k+1/k = [1*2*3*4*. . .*(k-1)*(k+1)*. . .* (N-1)*N] + 1/k первое слагаемое - натуральное число, второе слагаемое - дробный остаток 1/k. Сумма не натуральное число. Значит N!+1 без остатка на k не делиться! Прим. А.С.
Иными словами, если N!+1 и делиться на какое-то число (кроме 1 и самого себя), то это число будет большим, чем N. N!+1 или само по себе является простым, или его простой делитель больше чем N. В любом случае мы показали, что должно существовать простое число больше чем N. Процесс доказательства происходит без точного определения чему равно число N. Какое бы число N мы не взяли, существует простое число большее, чем N и таким образом бесконечность множества простых чисел доказано.
Последний сделанный нами шаг, кстати, называется обобщением, и мы встретим его позже в более формальном контексте. Обобщение произошло тогда, когда мы от выводов относительно каждого конкретного числа (N) перешли вообще к любому числу N и указали, что число N не определено, поэтому наши выводы распространяются на все числа.
Доказательство Евклида - это характерный пример того из чего состоит "настоящая математика". Оно простое, убедительное и красивое. Это Доказательство показывает, что, совершая несколько коротких шагов, можно проделать довольно далекий путь от исходной точки. В нашем случае исходная точка - основные идеи относительно умножения, деления и так далее. Короткие шаги - это шаги рассуждений. И хотя каждый отдельный шаг рассуждений для нас совершенно прозрачен, но конечный результат не столь очевиден. Мы никогда не сможем непосредственно проверить является ли это утверждение истинным или нет, и все же мы уверены в этом, так как мы верим в правильность рассуждений. Если вы признаете силу аргументов, то у вас нет ни какого выхода, как только согласиться выслушать доводы Евклида до конца, и тогда вы просто вынуждены согласиться с его заключением. Это очень удачное обстоятельство. Значит математики всегда могут договориться о том какие утверждения они будут объявлять "истинными", а какие будут объявлять "ложными".
Доказательство Евклида демонстрирует четкий и последовательный процесс рассуждений. Каждое заключение связано с предыдущим железной логической связью. Вот почему оно называется "доказательством", а не просто "правдоподобной догадкой". Цель математики - выстроить непоколебимое доказательство для некоторого неочевидного утверждения. Сам факт шагов, связывающих утверждения некоторым жестким способом предполагает, что должна существовать некая шаблонная структура, соединяющая эти утверждения вместе. Эта структура может быть лучше всего раскрыта, если найдется некий особый словарь специально стилизованный и набранный из символов подходящих только для выражения утверждений относительно чисел. Тогда мы можем посмотреть на наше доказательство в новой, переведенной версии. Это будет набор утверждений, которые выстроены одно за другим некоторым известным нам способом. Но эти утверждения, поскольку они представлены с помощью небольшого и стилизованного словаря, приобретают форму схематической конструкции. Иными словами, если их прочитать вслух, они все еще кажутся утверждениями относительно чисел и их свойств, но если их рассматривать, записанными на бумаге, они уже кажутся абстрактными схемами, а пошаговая структура доказательства напоминает постепенное преобразование символических конструкций согласно некоторому ограниченному набору типографских правил.
Победа над бесконечностью
Хотя в доказательстве Евклид показывается, что все числа имеют некоторое свойство, мы избегжали необходимости обращаться к каждому из бесконечного множества конкретных случаев.
Так произошло потому, что мы использовали фразы типа "какой бы ни был N" или "независимо от того, каким является число N". Мы могли доказать теорему еще раз, так что бы использовать при доказательстве фразу "всякое N". Зная ее контекст, и правильно используя такие фразы мы не обязаны иметь дело с бесконечным множеством утверждений. Мы имеем дело только с двумя или тремя идеями включающие в себя слово "все". Хотя сами по себе эти идеи описаны строкой конечной длинны, но они являются воплощением бесконечности. Используя их, мы обходим очевидную проблему, присутствия бесконечного числа фактов, которые мы хотим доказать.
Мы используем термин "все" несколькими способами, которые предопределяет ход наших рассуждений. То есть имеются правила, которым мы при использовании термина "все" повинуемся. Мы можем не осознавать их, и требовать, чтобы эти термины применялись исключительно на основе содержания слов. Но это, в конце концов, оказывается настолько громоздим для отображения в речи, что мы просто-напросто пользуемся правилами, которые никогда не афишируем. Мы используем эти слова на протяжении всей нашей жизни по некоторому шаблону и вместо шаблона "правило" мы приписываем направлению нашего мыслительного процесса шаблонное слово "мысль". Это открытие было ключевой точкой на пути к формализации теории чисел.
Если бы мы попытались вникнуть в доказательство Евклида гораздо глубже, мы бы видели, что оно состоит из множества маленьких, почти бесконечно маленьких шагов. Если бы все эти шаги были выписаны на листе один за другим, то доказательство показалось бы нам невероятно сложным и длинным. Для нашего ума гораздо яснее, когда несколько шагов накладываются друг на друга вместе и формируют одно единственное предложение. Если бы мы пытались постепенно двигаясь вглубь доказательства, мы стали бы различать отдельные элементарные части. Другими словами, детализация может идти только до определенного предела, и здесь мы обнаруживаем "атомную" структуру мыслительного процесса. Доказательство может быть разобрано на множеств крошечных, дискретных скачков, которые, опять сольются в единое целое, если смотреть на них с более удаленной точки. В главе VIII я покажу пример разбиения доказательства на элементарные единицы, и вы будете видеть, как невероятно много шагов пришлось там совершить. Но возможно это вас нисколько не удивит. Происходящее в мозге Евклида, когда он открыл доказательство, наверное, затронули миллиарды нейронов, многие из которых срабатывали с частотой много сотен импульсов в секунду. Даже простое произнесение стандартного предложения возбуждает сотни тысяч нейронов. Если мысли Евклида были много сложнее, то вполне возможно, что его доказательство содержит огромное число шагов! (Конечно, найдется не много прямых соответствий между происходящим в нервной системе мозга и шагами доказательства в формальной системе. Но сложность этих двух процессов сопоставима. Все это выглядит так, как будто природа хочет сложность доказательства бесконечности множества простых чисел сохранить даже тогда, когда для него используются очень различные системы.)
В последующих главах мы покажем формальную систему, которая: (1) включает стилизованный словарь, где все утверждения относительно теории чисел могут быть выражены, и (2) она имеет правила, соответствующие всем типам рассуждений, которые видятся для этого необходимыми. Там возникнет очень важный вопрос, имеют ли правила для манипуляции символами, которые мы сформулируем, равную способность к размышлениям (насколько теория чисел имеет к этому отношение) с обычными рассудочными способностями нашего ума? Или, обобщая: можно ли теоретически достигнуть нашего уровня мышления, используя некоторую формальную систему?
[ предыдущая ] [ оглавление ] [ следующая ]
Сopyleft © A Semenov 2002
[ вверх ]