Ахилл догнал черепаху и с удовольствием устроился у нее на спине.
- Итак, наше состязание окончено? - спросила Черепаха - Вам все-таки удалось преодолеть всю дистанцию, хотя она и состояла из бесконечной последовательности отрезков, и достичь финиша? А ведь, по правде говоря, я думала, будто какой-то мудрец доказал, что сделать это нельзя.
- Почему нельзя? -возразил Ахилл. - Еще как можно! Да что можно - уже сделано! Решено мимоходом. Видите ли, длина отрезков неограниченно убывала и поэтому...
. - А если бы длина отрезков неограниченно возрастала? - перебила его Черепаха, - Что тогда?
- Тогда бы я не сидел там, где я сижу, - скромно ответствовал Ахилл - а вы к этому времени уже успели бы несколько раз обойти вокруг земного шара.
- Вы мне льстите, то есть, я хочу сказать, вы мне мстите, - заметила Черепаха. - Я почти расплющена: вес-то у вас немалый. В чем, в чем, а в этом никакой ошибки нет. Если позволите, я лучше расскажу вам о состязании на другую дистанцию.
РИС. 12. Небесный замок M. C. Escher ( 1928).

Большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага. В действительности же, чтобы добраться до финиша, необходимо преодолеть бесконечно много этапов, и каждый последующий этап длиннее предыдущего.
- С превеликим удовольствием! - с жаром воскликнул греческий воин, доставая из шлема огромный блокнот и карандаш (в те далекие времена карманы были лишь у очень немногих греческих воинов) - Я весь внимание! И пожалуйста, говорите помедленнее: ведь стенографию еще не изобрели!
- О первая аксиома Евклида! - мечтательно промолвила Черепаха, - что может быть прекраснее тебя?
И добавила, обращаясь к Ахиллу:
- Вы любите "Начала" Евклида?
- Безумно! Вряд ли можно сильнее восхищаться трактатом, который не выйдет в свет в течении еще нескольких столетий!
- Прекрасно! Мы воспользуемся рассуждением, содержащимся в первой аксиоме. Нам понадобятся лишь два шага и выведенные из них заключения. Для удобства последующих ссылок обозначим суждения А, В, и Z. Итак будьте любезны записать в свой блокнот следующее:

(А) Равные одному и тому же равны между собой.
(В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

Надеюсь, читатели и почитатели Евклида согласятся, что заключение Z логически следует из посылок А и В и всякий, кто сочтет истинными посылки А и В, должен будет признать истинным и заключение Z . Не так ли?
- Несомненно! С вашим утверждением согласится любой школьник младшего класса, - разумеется, не раньше, чем будут изобретены школы, а для этого придется подождать какие-нибудь две тысячи лет.
- А что, если какой-нибудь читатель не признает посылки А и В истинными? Сможет ли он тем не менее считать заключение Z истинным?
- Ну что же, найтись такой читатель вполне может. Рассуждать он станет примерно так: "я считаю истинным условное суждение "если А и В истинны, то Z истинно", но не считаю истинными суждения А и В". Такой читатель поступит мудро, если оставит Евклида и займется футболом.
- А не найдется ли другой читатель, утверждающий, что он признает истинность суждений А и В, но не считает истинным условное суждение?
- Разумеется, может. Ему также лучше всего было бы заняться футболом.
- И ни один из этих читателей пока не должен считать заключение Z истинным в силу логической необходимости? - продолжала Черепаха.
- Пока не должен, - подтвердил Ахилл.
- Тогда я попрошу вас рассматривать меня как представителя второй категории читателей и с помощью логических доводов заставить меня признать истинность заключения Z .
- Черепаха, играющая в футбол... - начал было Ахилл, но черепаха поспешно прервала его: - ... была бы, конечно, необычным зрелищем. Не будем уклоняться от главного. Сначала истинность заключения Z, потом футбол!
- Итак, если я правильно понял, мне вменяется в обязанность заставить вас признать истинность суждения Z, - задумчиво проговорил Ахилл. - занимаемая вами позиция сводится к следующему. Вы признаете истинность суждений А и В, но не признаете истинность условного суждения...
- Нам будет удобнее разговаривать, если мы обозначим условное суждение С, - предложила Черепаха. - Хорошо, - согласился Ахилл.
- Итак, вы не признаете истинность суждения С . "Если А и В истинны, то Z должно быть истинным".
- Такова моя позиция в настоящее время, - подтвердила Черепаха.
- Тогда я вынужден просить вас признать истинность С.
- Я так и сделаю, - сказала Черепаха, - как только вы запишите суждение С в свой блокнот. В нем уже есть какие-нибудь записи?
- Всего лишь несколько заметок, - ответил Ахилл , лихорадочно перелистывая страницы, - о различных памятных событиях...о битвах, в которых я отличился.
- Я вижу множество чистых страниц! - радостно воскликнула Черепаха. - Они нам понадобятся все до единой! (Ахилл содрогнулся от ужаса. ) Запишите, пожалуйста:

(А) Равные одному и тому же равны между собой.
(В) Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.
(С) Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.
(Z) Две стороны этого треугольника равны между собой.

- Последнее суждение вам следовало бы обозначить буквой D, а не Z, - сказал Ахилл. - Оно идет непосредственно за тремя первыми суждениями. Если вы считаете истинными суждения А. В. и С, то вам не остается ничего другого, как признать истинность суждения.
- Почему вы считаете, что я непременно должна признать истинность суждения Z?
- Потому, что оно логически следует из А, В и С. Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным. Надеюсь , против этого вы не станете возражать?
- Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным, - задумчиво повторила Черепаха. - А ведь это - новое условное суждение! И если я не убеждена в его истинности, то могу считать истинными А, В и С, но по-прежнему не признавать истинным Z. Правильно?
- Правильно, - подтвердил герой, - хотя я должен сказать, что этакое упрямство выглядит очень странным. Однако поскольку и такое возможно, я вынужден просить вас признать истинность еще одного условного суждения. - С удовольствием! Я охотно признаю истинность этого суждения, как только вы запишите его в свой блокнот. Обозначим его D.
Итак, D. " Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным". Записали?
- Записал! - радостно воскликнул Ахилл, и карандаш его быстро забегал по бумаге. - Наконец мы подошли к финишу нашего логического состязания. Уж теперь-то, признав истинность суждения А, В, С и D, вы конечно, признаете истинность заключения Z!
- Разве это так уж необходимо? - с невинным видом спросила Черепаха. - Попробуем разобраться. Я признаю истинность суждений А, В, С и D. Но что, если я по-прежнему не признаю истинность заключения Z?
- Тогда Логика возьмет вас за горло и вынудит сделать это! - торжествующе ответил Ахилл. - Логика скажет вам: "у вас не осталось другого выхода. После того, как вы признали истинность суждений А, В, С и D, вы должны признать истинность заключения Z!" Итак вы видите, иного выхода нет.
- То что мне сказала Логика, следовало бы записать, - заметила Черепаха. - Внесите, пожалуйста, в свой блокнот условное суждение, которое мы обозначим Е:
Е. "Если А, В, С и D истинны, то Z должно быть истинным".
До тех пор, пока я не соглашусь признать истинность суждения Е, у меня нет необходимости признавать истинность суждения Z, поэтому суждение Е нам просто необходимо. Вы согласны?
- Согласен, - ответил Ахилл с оттенком печали в голосе.
В этот момент неотложные дела в банке вынудили рассказчика оставить счастливую пару. Лишь через несколько месяцев ему довелось снова проходить мимо того места, где беседовали Ахилл и Черепаха. Ахилл по-прежнему сидел на спине у многотерпеливой Черепахи и что-то писал в почти заполненном блокноте. Приблизившись, рассказчик услышал, как Черепаха сказала:
- Записали последнее условное суждение? Если я не сбилась со счета, оно должно быть тысяча первым. Осталось еще несколько миллионов. Я хочу попросить вас о личном одолжении. Вы не будете возражать, если я прочту вам короткие стишки собственного сочинения? В качестве смягчающего обстоятельства я прошу иметь в виду те споры, которые вызовет среди логиков ХIX века наша беседа.
- Читайте что угодно! - с отчаянием воскликнул несчастный воин, закрывая лицо руками. И Черепаха продекламировала:

Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп - ах! - трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!