Журнал "Знание-Сила" N_9 1991

На перекрестках мирозданья

Ю. Данилов

Приглашение на Хофштадтера

Дайджест

Пытаться пересказывать книгу Хофштадтера "Гёдель, Эшер, Бах...", ту самую книгу того самого Хофштадтера - занятие еще более безнадежное, чем пытаться объяснить красоту музыки И. С. Баха человеку, который ее никогда не слышал. Последуем поэтому примеру ведущих музыкально-образовательных передач и попытаемся создать у слушателей некоторое представление о книге Хофштадтера по небольшим отрывкам из нее, сопровождаемым скромными комментариями.

Открывается книга историей о том, как Иоганн Себастьян Бах ("старый Бах"), приехавший в Берлин навестить своего сына Карла Филиппа Эмануэля, который служил хормейстером при дворе Фридриха Второго, был неожиданно приглашен королем во дворец опробовать новые клавесины работы Зилбермана. Фридрих Второй был искусным флейтистом (по крайней мере так не без лести отзываются о его игре на флейте те, кому довелось ее слышать) и, исполнив на любимом инструменте мелодию, попросил Баха разработать ее вариации. Бах со всей тщательностью исполнил просьбу августейшего флейтиста. И вариации на "королевскую тему" составили содержание так называемого "Музыкального дара" (или, в другой редакции, "Музыкального приношения"). Книга Хофштадтера по существу представляет собой "Метамузыкальный дар" (или "Метамузыкальное приношение"): она построена по образу и подобию сочинения Баха. "Королевской темой" служит знаменитая теорема Гёделя о неполноте, развеявшая мечты некоторых математиков о построении непротиворечивой и последовательной логической системы. Предполагалось, что, коль скоро исходные аксиомы и правила вывода заданы, любое утверждение может быть в рамках системы либо доказано - то есть получено с помощью правил вывода как следствие аксиом и ранее доказанных утверждений,- либо опровергнуто. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что в любой системе, аксиомы которой содержат аксиомы арифметики, найдется утверждение, которое в данной системе не может быть ни доказано, ни опровергнуто. Тем самым терпят крушение надежды на "полную" формализацию ("устрожение") математики. Хофштадтер знакомит читателя и с тем фоном, на котором возникла теорема Гёделя: с историей логики, логическими парадоксами, формализацией логического вывода, логическими автоматами, компьютерами и проблемами искусственного интеллекта. Венчает вводную главу "Трехчастная инвенция" - диалог Ахилла и Черепахи, к которым в дальнейшем присоединяется Зенон. Основное назначение "Трехчастной инвенции" - дать читателю общее представление о том, что, его ожидает в дальнейшем. Вот как она выглядит:

Трехчастная инвенция

Ахилл (греческий воин, самый быстроногий из всех смертных) и Черепаха стоят на самом солнцепеке, у начала пыльной беговой дорожки. У противоположного конца дорожки на высоком флагштоке поднят большой прямоугольный флаг. Все его полотнище красное, но в одном месте в нем вырезано небольшое круглое отверстие, сквозь которое виднеется небо.

Ахилл: Что за странный флаг висит там, на другом конце беговой дорожки? Он чем-то напоминает мне одну гравюру моего любимого художника М.К. Эшера

Черепаха: Это флаг Зенона.

Ахилл: Может быть, дыра во флаге напоминает по форме отверстие в листе Мёбиуса на гравюре Эшера? Одно могу сказать: с этим флагом что-то не так.

Черепаха: Круглое отверстие, вырезанное в полотнище флага, имеет форму цифры, обозначающей ноль - любимое число Зенона.

Ахилл: Но ноль еще не изобретен! Его придумает некий индийский математик лишь несколько тысячелетий спустя. А это, мистер Черепаха, доказывает справедливость моего утверждения о том, что такой флаг не может существовать.

Черепаха: Ваш аргумент убедителен, Ахилл, и я вынуждена признать, что такой флаг действительно невозможен. И все же он необычайно красив, не правда ли?

Ахилл: О да, красота флага не вызывает ни малейших сомнений.

Черепаха: Хотела бы я знать, не связана ли красота флага каким-то образом с тем, что он не может существовать. Не знаю. Мне все было недосуг заняться анализом того, что такое Красота. Ведь Красота - это Воплощенная Суть, а у меня все не было времени поразмыслить о Воплощенной Сути.

Ахилл: Когда вы, мистер Черепаха, говорите о Воплощенной Сути, означает ли это, что вы размышляли над Смыслом Жизни?

Черепаха: О небо, нет!

Ахилл: А вы никогда не задумывались над тем, почему мы здесь и кто нас создал?

Черепаха: Это совершенно другая материя. Все мы, как вы вскоре увидите,- творения Зенона, а здесь мы для того, чтобы участвовать в состязании по бегу.

Ахилл: В состязании по бегу? Да это же оскорбление! Мне, самому быстроногому из смертных, состязаться с вами, медлительнейшим из медлительных существ! В таком состязании нет никакого смысла.

Черепаха: Вы можете дать мне фору.

Ахилл: И фора должна быть немалой!

Черепаха: Не возражаю.

Ахилл: Но я все равно догоню вас - раньше или позже, вероятнее всего, раньше.

Черепаха: Нет, если все обстоит так, как в парадоксе Зенона, то вам никогда не удастся догнать меня. Видите ли, Зенон надеялся с помощью нашего состязания показать, что движение невозможно. И поистине Движение Внутренне Противоречиво и потому Невозможно. Зенон доказывает это весьма изящно.

Ахилл: О да, теперь я припоминаю знаменитую дзен-буддистскую притчу о дзен-буддистском верховном жреце Зеноне. Вы совершенно правы: эта притча действительно весьма незамысловата.

Черепаха: Дзен-буддистская притча? Дзен-буддистский верховный жрец? Что вы имеете в виду?

Ахилл: Я говорю о следующей притче: "однажды двое монахов вели спор о флаге. "Движется флаг",- утверждал один. "Движется ветер",- возражал другой. Мимо случилось проходить шестому дзен-буддистскому патриарху Зенону. Он молвил монахам: "движется не ветер и не флаг, движется разум".

Черепаха: Боюсь, что вы что-то путаете, Ахилл. Зенон, о котором я говорю, отнюдь не дзен-буддистский верховный жрец. В действительности он древнегреческий философ из города Элея, расположенного на полупути между пунктами А и В. Через много веков он станет знаменитым благодаря своим парадоксам, или апориям, о движении. В одной из его апорий центральное место занимает состязание по бегу между мной и вами.

Ахилл: Я все перепутал. Я отлично помню, как неоднократно повторял имена шести патриархов дзен-буддизма и всегда говорил: шестой патриарх Зенон, шестой патриарх Зенон... (Внезапно подул легкий ветерок.) Вы только взгляните, мистер Черепаха, как развевается флаг! Мне так нравится смотреть, как бегут складки по его мягкой ткани. И вырезанное в полотнище круглое отверстие также развевается!

Черепаха: Не говорите глупости. Флаг не существует, следовательно, он не может развеваться. Движется ветер. (В этот момент мимо проходит Зенон.)

Зенон: Привет! Привет! О чем спорите? Что нового?

Ахилл: Движется флаг.

Черепаха: Движется ветер.

Зенон: Друзья! Друзья! Прекратите ваш спор! Оставьте сарказм! Отбросьте разногласия! Я разрешу сомнения! Стоит ли спорить в такой прекрасный день?

Ахилл: Должно быть, этот незнакомец валяет дурака.

Черепаха: Подожди, Ахилл. Послушаем, что он скажет. О неизвестный господин, соблаговолите поделиться с нами вашими мыслями о предмете спора.

Зенон: С превеликим удовольствием. Ни ветер, ни флаг - ничто не движется. Не движется вообще ничего. Ибо я сформулировал великую Теорему, которая гласит: "Движение Внутренне Противоречиво и потому Невозможно". Из этой Теоремы следует еще более великая Теорема - Теорема Зенона: "Движение не существует".

Ахилл: Вы сказали "Теорема Зенона"? О господин, уж не философ ли вы Зенон Элейский?

Зенон: Он самый, Ахилл.

Ахилл (в удивлении чешет в затылке}: Откуда он узнал мое имя?

Зенон: Могу ли я надеяться, что вы оба выслушаете меня и узнаете, в чем суть дела? Сегодня по дороге в Элею из пункта А я тщетно пытался найти кого-нибудь, кто вник бы в мои стройные рассуждения. Но все, кто мне встречались в пути, куда-то спешили, и у них не было времени, чтобы выслушать меня. Вы даже не представляете, как тяжко получать отказ за отказом. Не подумайте, пожалуйста, будто я намереваюсь взвалить на вас свои заботы. Я хочу попросить вас лишь об одном одолжении: не уделите ли вы выжившему из ума старому философу несколько мгновений, чтобы он изложил вам свои эксцентрические теории? Ручаюсь, что это не займет много времени.

Ахилл: Разумеется, мы с радостью выслушаем вас, что вы скажете. Прошу вас, просветите нас. Я говорю от имени нас обоих потому, что мой компаньон, мистер Черепаха, только что с величайшим почтением поминал о вас и, в частности, о ваших апориях.

Зенон: Благодарю вас. Видите ли, мой Учитель, пятый патриарх, наставлял меня, что реальность единственна, недвижима и неизменна; всякая же множественность, любое движение и изменение - не более, чем обман чувств. Некоторые с насмешками отзывались о его взглядах, и я вознамерился показать абсурдность подобных насмешек. Мои доводы очень просты. Чтобы изложить их, я прибег к двум вымышленным персонажам: Ахиллу, греческому воину, самому быстроногому из всех смертных, и Черепахе. В моей притче они, поддавшись на уговоры прохожего, устраивают состязание по бегу. Выигравшим считается тот, кто первым добежит до флагштока, на котором полощется на ветерке флаг. Предположим, что Черепаха, как гораздо более медленный бегун, получает фору, скажем, в десять стадий. Состязание начинается. Гигантскими скачками Ахилл преодолевает расстояние, отделявшее его от того места, откуда стартовала Черепаха.

Ахилл: Вот видите!

Зенон: Но Черепаха успевает уползти и опережает теперь Ахилла ровно на одну стадию. В несколько мгновений Ахилл преодолевает и это расстояние.

Ахилл: Хо-хо!

Зенон: Но к этому времени Черепаха успевает продвинуться чуть дальше. В какой-то миг Ахилл покрывает и это расстояние.

Ахилл: Хи-хи-хи!

Зенон: Но сколь ни быстротечно время, которое потребовалось Ахиллу, чтобы преодолеть последнее расстояние, Черепаха успевает проползти чуть вперед, и Ахилл по-прежнему остается позади. Как вы теперь видите, для того чтобы Ахилл мог догнать Черепаху, в игру "Попробуй догони!" нужно сыграть бесконечно много раз. Следовательно, Ахилл никогда не догонит Черепаху.

Черепаха: Хе-хе-хе-хе!

Ахилл: Гм! Гм... гм... гм... Ваши рассуждения кажутся мне ошибочными, хотя я и не могу сказать, где именно кроется в них ошибка.

Зенон: Хороша головоломка? Это мой любимый парадокс.

Черепаха: Прошу прощения, Зенон, но мне кажется, что ваша притча иллюстрирует неверный принцип. Разве не так? То, что вы нам сейчас рассказали, через много столетий станет называться апорией Зенона "Ахилл и Черепаха". Эта апория показывает - гм! - что Ахилл никогда не догонит Черепаху, а то, что "Движение Внутренне Противоречиво и потому Невозможно", доказывает другая ваша апория, "Дихотомия", не правда ли?

Зенон: Позор мне! Разумеется, вы правы. В этой апории утверждается, что для того чтобы попасть из пункта А в пункт В, необходимо сначала преодолеть половину расстояния, отделяющего А от В, а для этого сначала нужно преодолеть половину половины, и так далее. Как вы видите, обе апории толкуют более или менее об одном и том же. Честно говоря, у меня есть лишь одна Великая Идея, я лишь по-разному ее использую.

Ахилл: Готов поклясться, что в ваших рассуждениях кроется какая-то ошибка. Я не могу указать, в чем именно она заключается, но полагаю, что исправить ее невозможно.

Зенон: Вы сомневаетесь в правильности моего парадокса? Почему бы вам не проверить его на собственном опыте? Видите красный флаг вон там, у дальнего конца беговой дорожки?

Ахилл: Вы имеете в виду тот невозможный флаг, заимствованный с гравюры Эшера?

Зенон: Именно! Что вы скажете, если я предложу вам и мистеру Черепахе провести состязание по бегу? Разумеется, вы дадите мистеру Черепахе фору, скажем...

Черепаха: На десять стадий.

Зенон: Хорошо, пусть будет на десять стадий.

Ахилл: Готов, хоть сейчас.

Зенон: Превосходно! Это будет захватывающее состязание! Еще бы - эмпирическая проверка моей строго доказанной теоремы! Мистер Черепаха, прошу вас занять исходную позицию в десяти стадиях впереди Ахилла. (Черепаха переползает на отметку, находящуюся в десяти стадиях впереди черты, от которой приготовился взять старт Ахилл.) Оба приготовились?

Черепаха и Ахилл: Да!

Зенон: Внимание! На старт! Марш!

Глава 1 знакомит читателя с простой формальной системой и вводит ряд основных понятий: строка символов, теорема, аксиома, правила вывода, вывод, формальная система. Завершающий эту главу двухчастный диалог заимствован Хофштадтером у Льюиса Кэрролла. Он позволяет читателю в игровой форме познакомиться с рассуждениями типа "он думал, что я думаю, что он думает..." Приведем и мы этот замечательный диалог:

Льюис КЭРРОЛЛ

Двухчастная инвенция, или Что Черепаха сказала Ахиллу

Ахилл догнал Черепаху в с удобством расположился у нее на спине.

- Итак, наше состязание окончено? - спросила Черепаха.- Вам все-таки удалось преодолеть всю дистанцию, хотя она и состояла из бесконечной последовательности отрезков, и достичь финиша? А ведь, по правде говоря, я думала, будто какой-то мудрец доказал, что сделать это нельзя.

- Почему нельзя? - возразил Ахилл. - Еще как можно! Да что можно - уже сделано! Solvitur ambulando (решено мимоходом, лат.). Видите ли, длина отрезков неограниченно убывала и поэтому...

- А если бы длина отрезков неограниченно возрастала? - перебила его Черепаха. - Что тогда?

- Тогда бы я не сидел там, где я сижу, - скромно ответствовал Ахилл,- а вы к этому времени уже успели бы несколько раз обойти вокруг земного шара.

- Вы мне льстите, то есть, я хочу сказать, вы мне мстите,- заметила Черепаха.- Я почти расплющена: вес-то у вас немалый. В чем, в чем, а в этом никакой ошибки нет. Если позволите, я лучше расскажу вам о состязании на другую дистанцию. Большинство людей ошибочно полагают, будто в этом состязании их отделяют от финиша лишь два-три шага. В действительности же, чтобы добраться до финиша, необходимо преодолеть бесконечно много этапов, и каждый последующий этап длиннее предыдущего.

- С превеликим удовольствием! - с жаром воскликнул греческий воин, доставая из шлема огромный блокнот и карандаш (в те далекие времена карманы были лишь у очень немногих греческих воинов).- Я весь внимание! И пожалуйста, говорите помедленнее, ведь стенографию еще не изобрели!

- О первая аксиома Евклида! - мечтательно промолвила Черепаха.- Что может быть прекраснее тебя?

И добавила, обращаясь к Ахиллу:

- Вы любите "Начала" Евклида?

- Безумно! Вряд ли можно сильнее восхищаться трактатом, который не выйдет в свет в течение еще нескольких столетий!

- Прекрасно! Мы воспользуемся рассуждением, содержащимся в первой аксиоме. Нам понадобятся лишь два шага и выведенные из них заключения. Для удобства последующих ссылок обозначим суждения А, В и Z. Итак, будьте любезны записать в свой блокнот следующее:

А. Равные одному и тому же равны между собой.

В. Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.

Z. Две стороны этого треугольники равны между собой.

Надеюсь, читатели и почитатели Евклида согласятся, что заключение Z логически следует из посылок А и В и всякий, кто сочтет истинными посылки А и В, должен будет признать истинным и заключение Z. Не так ли?

- Несомненно! С вашим утверждением согласится любой школьник младшего класса,- разумеется, не раньше, чем будут изобретены школы, а для этого придется подождать какие-нибудь две тысячи лет.

- А что, если какой-нибудь читатель не признает посылки А и В истинными? Сможет ли он тем не менее считать заключение Z истинным?

- Ну что же, найтись такой читатель вполне может. Рассуждать он станет примерно так: "я считаю истинным условное суждение "если А и В истинны, то Z истинно ", но не считаю истинными суждения А и В". Такой читатель поступит мудро, если оставит Евклида и займется футболом.

- А не найдется ли другой читатель, утверждающий, что он признает истинность суждений А и В, но не считает истинным условное суждение?

- Разумеется, может. Ему также лучше всего было бы заняться футболом.

- И ни один из этих читателей пока не должен считать заключение Z истинным в силу логической необходимости? - продолжала Черепаха.

- Пока не должен,- подтвердил Ахилл.

- Тогда я попрошу вас рассматривать меня как представителя второй категории читателей и с помощью логических доводов заставить меня признать истинность заключения Z.

- Черепаха, играющая в футбол...- начал было Ахилл, но Черепаха поспешно прервала его:

- ... была бы, конечно, необычным зрелищем. Не будем уклоняться от главного. Сначала истинность заключения Z, потом футбол!

- Итак, если я правильно понял, мне вменяется в обязанность заставить вас признать истинность суждения Z,- задумчиво проговорил Ахилл.- Занимаемая вами позиция сводится к следующему. Вы признаете истинность суждений А и В, но не признаете истинность условного суждения...

- Нам будет удобнее разговаривать, если мы обозначим условное суждение С,- предложила Черепаха.

- Хорошо,- согласился Ахилл. - Итак, вы не признаете истинность суждения С. "Если А и В истинны, то Z должно быть истинным".

- Такова моя позиция в настоящее время,- подтвердила Черепаха.

- Тогда я вынужден просить вас признать истинность С.

- Я так и сделаю,- сказала Черепаха,- как только вы запишете суждение С в свой блокнот. В нем уже есть какие-нибудь записи?

- Всего лишь несколько заметок,- ответил Ахилл, лихорадочно перелистывая страницы,- о различных памятных событиях... о битвах, в которых я отличился.

- Я вижу множество чистых страниц! - радостно воскликнула Черепаха.- Они нам понадобятся все до единой (Ахилл содрогнулся от ужаса.) Запишите, пожалуйста:

А. Равные одному и тому же равны между собой.

В. Две стороны этого треугольника равны одному и тому же.

С. Если А и В истинны, то Z должно быть истинным.

Z. Две стороны этого треугольника равны между собой.

- Последнее суждение вам следовало бы обозначить буквой D, а не Z,- сказал Ахилл.- Оно идет непосредственно за тремя первыми суждениями. Если вы считаете истинными суждения А, В и С, то вам не остается ничего другого, как признать истинность суждения.

- Почему вы считаете, что я непременно должна признать истинность суждения Z?

- Потому, что оно логически следует из А, В и С. Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным. Надеюсь, против этого вы не станете возражать?

- Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным,- задумчиво повторила Черепаха.- А ведь это - новое условное суждение! И если я не убеждена в его истинности, то могу считать истинными А, В и С, но по-прежнему не признавать истинным Z. Правильно?

- Правильно,- подтвердил герой,- хотя я должен сказать, что этакое упрямство выглядит очень странным. Однако поскольку и такое возможно, я вынужден просить вас признать истинность еще одного условного суждения.

- С удовольствием! Я охотно признаю истинность этого суждения, как только вы запишете его в свой блокнот. Обозначим его D.

Итак, D. "Если А, В и С истинны, то Z должно быть истинным". Записали?

- Записал! - радостно воскликнул Ахилл, и карандаш его быстро забегал по бумаге.- Наконец мы подошли к финишу нашего логического состязания! Уж теперь-то, признав истинность суждения А, В, С и D, вы, конечно, признаете истинность заключения Z!

- Разве это так уж необходимо? - с невинным видом спросила Черепаха.- Попробуем разобраться. Я признаю истинность суждений А, В, С и D. Но что, если я по-прежнему не признаю истинность заключения Z?

- Тогда Логика возьмет вас за горло и вынудит сделать это! - торжествующе ответил Ахилл.- Логика скажет вам: "у вас не осталось другого выхода. После того, как вы признали истинность суждений А, В, С и D, вы должны признать истинность заключения Z!" Итак, как вы видите, иного выхода нет.

- То, что мне сказала Логика, следовало бы записать,- заметила Черепаха.- Внесите, пожалуйста, в свой блокнот условное суждение, которое мы обозначим Е:

Е. "Если А, В, С и D истинны, то 2 должно быть истинным".

До тех пор, пока я не соглашусь признать истинность суждения Е, у меня нет необходимости признавать истинность суждения Z, поэтому суждение Е нам просто необходимо. Вы согласны?

- Согласен,- ответил Ахилл с оттенком печали в голосе.

В этот момент неотложные дела в банке вынудили рассказчика оставить счастливую пару. Лишь через несколько месяцев ему довелось снова проходить мимо того места, где беседовали Ахилл и Черепаха. Ахилл по-прежнему сидел на спине у многотерпеливой Черепахи и что-то писал в почти заполненном блокноте. Приблизившись, рассказчик услышал, как Черепаха сказала:

- Записали последнее условное суждение? Если я не сбилась со счета, оно должно быть тысяча первым. Осталось еще несколько миллионов. Я хочу попросить вас о личном одолжении. Вы не будете возражать, если я прочту вам короткие стишки собственного сочинения? В качестве смягчающего обстоятельства я прошу иметь в виду те споры, которые вызовет среди логиков XIX века наша беседа.

- Читайте что угодно! - с отчаянием воскликнул несчастный воин, закрывая лицо руками.

И Черепаха продекламировала:

Ахиллесову пяту
Указуют все не ту.
Череп - ах! - трещит от дум:
У Ахилла хилый ум!

  Глава II раскрывает перед читателем некоторые тонкости проблемы смысла и формы в математике (такими понятиями, как истинность, доказательство, преобразования с символами и с трудно определимым понятием "форма". Иллюстрацией их служит "Соната для Ахилла соло", которую мы также приводим.

Соната для Ахилла Соло

Звонит телефон. Ахилл берет трубку.

Ахилл: Алло, Ахилл у телефона.

Ахилл: Ах, это вы, мистер Черепаха. Как поживаете?

Ахилл: Черепаховый вертикулит? Прискорбно слышать. А отчего, по-вашему это приключилось?

Ахилл: А как долго она находится у вас в таком положении?

Ахилл: Тогда не удивительно, что она задеревенела. Но что заставило вас так долго держать шею искривленной столь неестественным образом?

Ахилл: Вы говорите, их поразительно много? А какие они, например?

Ахилл: Простите, что вы называете "фантасмагорическими существами"?

Ахилл: А не страшно ли видеть одновременно так много этих существ?

Ахилл: Гитара?! Должен признаться, что из всех предметов, которые могли оказаться среди столь необычных существ, меньше всего я ожидал... Скажите, а вы не играете на гитаре?

Ахилл: Я их тоже не различаю.

Ахилл: Вы совершенно правы. Удивляюсь, почему я сам никогда не обращал прежде внимания на различие между скрипкой и гитарой. Кстати, раз уж мы заговорили о скрипке, не хотите ли вы навестить меня и прослушать одну из сонат для скрипки соло вашего любимого композитора Иоганна Себастьяна Баха? Я только что купил великолепную пластинку с записью этой сонаты. Я никак не могу понять, как Баху удалось, используя солирующую скрипку, создать произведение, вызывающее столь большой интерес.

Ахилл: И головную боль тоже? Стыдитесь! Может быть, вам надлежало бы как следует выспаться?

Ахилл: Понимаю. А овец считать вы не пробовали?

Ахилл: Да-да, я понимаю. Я прекрасно понимаю, что вы хотите сказать. Но если эта задача действительно настолько сложна, что способна довести до безумия, то. может быть, вам лучше рассказать мне о ней, чтобы и я попытался решить ее.

Ахилл: Английское слово, в котором буквы A, D, A, C идут подряд... Гм... Как насчет слова abracadabra?

Ахилл: Ах, да, вы правы, комбинация "adac" встречается в слове abracadabra только если читать его от конца к началу.

Ахилл: Вы говорите, что потратили на эту головоломку не один час? Похоже, что и мне придется изрядно поломать над ней голову. А где вы раскопали эту адскую головоломку?

Ахилл: Вы хотите сказать, что он делал вид, будто размышляет над эзотерическими буддистскими материями, а в действительности ломал голову над сложными словесными головоломками.

Ахилл: Понял! Улитка знала, чем на самом деле занимается этот тип. А как вам случилось заговорить с улиткой?

Ахилл: Знаете, я знаю одну словесную головоломку, немного похожую на вашу. Хотите послушать? Или она тоже вызовет у вас подавленное состояние?

Ахилл: Согласен, моя головоломка не может причинить вам никакого вреда. Вот она: какое английское слово начинается с букв "HE" и заканчивается буквами "HE"?

Ахилл: Ваше решение очень остроумно, но находится на грани надувательства. *

Это заведомо не то, что я имел в виду!

Ахилл: Разумеется, вы правы: ваше решение удовлетворяет всем условиям, но принадлежит к числу "вырожденных" решений. Существует другое решение. Его-то я и имел в виду.

Ахилл: Совершенно верно! Как вам удалось так быстро найти его? **

Ахилл: Значит, перед нами - тот редкий случай, когда головная боль не мешает, а помогает решать головоломки. Что касается вашей головоломки с "adac", то я все еще блуждаю в потемках.

Ахилл: Поздравляю! Может быть, теперь вам удастся заснуть? Так какое же решение у вашей головоломки?

Ахилл: Обычно я не люблю подсказок, но так и быть. А в чем состоит ваша подсказка?

Ахилл: Я не знаю, что вы подразумеваете под "фигурой" и "фоном" в данном случае.

Ахилл: Конечно, я знаю литографию "Мозаика II". Я знаю все работы Эшера. В конце концов, он мой любимый художник. Кстати сказать, копия "Мозаики II" висит сейчас на стене как раз у меня перед глазами.

Ахилл: Да, я вижу все черные существа.

Ахилл: Да, я вижу, что их "отрицательное пространство" - то, что остается, если из литографии вырезать все черные существа,- определяет контуры белых существ.

Ахилл: Теперь понятно, что вы имеете в виду, говоря о "фигурах" и "фоне". Но какое отношение имеет с "adac"?

Ахилл: Боюсь, что это слишком сложно для меня. Кажется, у меня начинается головная боль.

Ахилл: Вы хотите прийти ко мне в гости сейчас? Но я думал, что...

Ахилл: Очень хорошо. Возможно, к тому времени мне удастся отгадать правильный ответ к вашей головоломке с помощью вашей подсказки ("фигура" - "фон"). Постараюсь как-нибудь связать ее с моей головоломкой.

Ахилл: С удовольствием дам вам их прослушать.

Ахилл: Вы создали собственную теорию по поводу сонат Баха?

Ахилл: В сопровождении какого инструмента?

Ахилл: Если это действительно так, то немного странно, что Бах не написал партию арфы и не опубликовал ее.

Ахилл: Понимаю, на усмотрение слушателя. Их можно слушать, как кому нравится - с аккомпанементом и соло. Но как узнать, как должен был бы звучать этот аккомпанемент?

Ахилл: Да, я согласен, что лучше всего предоставить выбор фантазии слушателя. Может быть, как вы утверждаете, Бах не имел в виду никакой аккомпанемент. Его сонаты и без всякого аккомпанемента звучат великолепно.

Ахилл: Хорошо. Жду вас.

Ахилл: Всего доброго, мистер Черепаха.

Глава III проводит параллель между фигурой и фоном в изобразительном искусстве и теоремами и нетеоремами в формальной системе. Название заключительного (центрального во всей книге) диалога - Контракростипункт - представляет собой пример одного из тех "слов-портмоне", которые так любил несравненный Шалтай-Болтай. (Помните его знаменитый разбор стихотворения "Бармаглот": "Варкалось. Хливкие шорьки/ Пырялись по наве..."?) Контракростипункт - это "гибрид" контрапункта и акростиха. Учитывая важность этого диалога, мы также воспроизводим его:

Контракростипункт

Ахилл пришел в гости к своему приятелю и неугомонному партнеру мистеру Черепахе.

Ахилл: О небо, да у вас великолепная коллекция бумерангов!

Черепаха: Так себе, пустяки! Не лучше и не хуже, чем у любой другой черепахи. Не хотите ли пройти в гостиную?

Ахилл: С удовольствием. (Отправляется в угол комнаты.) О да у вас обширная коллекция пластинок! Какую музыку вы предпочитаете?

Черепаха: На мой вкус неплох Иоганн Себастьян Бах. Но в последнее время меня все больше занимает музыка особого рода.

Ахилл: А что это за музыка?

Черепаха: Такой музыки вам, скорее всего, слышать не приходилось. Я называю ее "музыкой, от которой ломаются фонографы".

Ахилл: Я не ослышался? Вы сказали "музыка, от которой лопаются фонографы"? Какое необычное понятие! Я просто зримо ощущаю, как вы с молотом в лапах сокрушаете один за другим фонографы под музыку героической "Победы Веллингтона" Бетховена.

Черепаха: Музыка, о которой я говорю, иного рода. Но вы вполне правы, когда говорите, что у нее загадочная природа. Если не возражаете, я постараюсь кратко описать ее.

Ахилл: Именно об этом я хотел вас просить.

Черепаха: С музыкой, от которой ломаются фонографы, знакомы очень немногие. Все началось с того дня, когда мой приятель Краб,- кстати, вы никогда с ним не встречались? - заглянул ко мне на огонек.

Ахилл: Мне очень хотелось бы с ним познакомиться. Я столько о нем слышал, но не имел случая свести знакомство.

Черепаха: Рано или поздно я вас познакомлю. Вам он сразу понравится. Возможно, мы как-нибудь случайно встретим его во время прогулок в парке...

Ахилл: Глубокая мысль! С нетерпением жду встречи. Но вы, если мне не изменяет память, хотели рассказать о необычной музыке, от которой ломаются фонографы, не так ли?

Черепаха: Совершенно верно. Итак, однажды ко мне в гости пришел Краб. Должна сказать, что он всегда питал слабость ко всякого рода приборам и устройствам, а в то время просто сходил с ума от проигрывателей. Незадолго до своего визита Краб купил свой первый проигрыватель, несколько опрометчиво поверив на слово продавцу, будто этот проигрыватель может воспроизводить все и всяческие звуки. Короче говоря, Краб пребывал в полной уверенности, что является обладателем Совершенного фонографа.

Ахилл: Естественно, что вы не разделяли его мнения...

Черепаха: Разумеется, но он и слышать не хотел, когда я пыталась переубедить его. Он упорно твердил, что любой звук может быть воспроизведен на его проигрывателе. Поскольку мне не удалось переубедить Краба, я оставила его в покое. Но вскоре я нанесла ему ответный визит, прихватив с собой пластинку с записью написанной мной песни. Называлась эта песня "Меня нельзя сыграть на проигрывателе N 1".

Ахилл: Весьма необычное название. Это был подарок для Краба?

Черепаха: Совершенно верно. Я предложила прослушать подарок на новом фонографе, и Краб с радостью согласился доставить мне удовольстие. Он поставил пластинку на проигрыватель, но тот после первых же звуков начал сильно вибрировать и с громким "трах!" рассыпался на множество мелких кусочков, усеявших всю комнату. Нужно ли говорить, что и пластинка оказалась сломанной.

Ахилл: Страшный удар для бедного Краба. А что случилось с его проигрывателем?

Черепаха: В действительности с проигрывателем ничего не случилось, решительно ничего. Просто он не смог воспроизвести те звуки, которые были записаны на принесенной мной пластинке, поскольку эти звуки должны были вызвать в проигрывателе сначала сильную вибрацию, а потом его разрушение.

Ахилл: Странно, не правда ли? Я хочу сказать, что тоже считал приобретение Краба Совершенным фонографом. В конце концов продавец утверждал, что выбранный Крабом фонограф совершенный.

Черепаха: Нельзя верить всему, что говорят продавцы, Ахилл. Разве вы столь же наивны, как Краб?

Ахилл: Краб гораздо наивнее меня. Я не первый день живу на свете и отлично знаю, что продавцы готовы пойти на любое прегрешение против истины, чтобы сбыть товар.

Черепаха: Но в таком случае вы можете вообразить такую ситуацию: продавец, у которого Краб купил свой проигрыватель, несколько преувеличил достоинства покупки, и Крабу, возможно, достался не столь уж Совершенный проигрыватель, который может воспроизводить далеко не все звуки.

Ахилл: Возможно, это объясняет случившееся. Но как объяснить удивительное совпадение, что именно на вашей пластинке оказались записанными те самые звуки...

Черепаха: Они оказались записанными на моей пластинке отнюдь не случайно. Прежде чем нанести Крабу ответный визит, я отправилась в тот магазин, где он купил свой проигрыватель, и установила, какой он модели. Затем я запросила у изготовителей сведения о конструкции проигрывателя. Получив ответ по почте, я проанализировала всю конструкцию фонографа и установила определенный набор звуков, обладавших тем свойством, что стоит воспроизвести любой из достаточно близких к ним звуков, как проигрыватель начинает сильно вибрировать и затем рассыпается на части.

Ахилл: Ну и мерзкий же вы тип! Можете не рассказывать мне, что было дальше: вы записали эти звуки на пластинку и коварно преподнесли ее в подарок ничего не подозревающему Крабу.

Черепаха: А вы неплохо соображаете! Но не стоит опережать события - история на этом не закончилась, потому что Краб ни за что не хотел верить в несовершенство своего проигрывателя. Он, знаете ли, отличается необычайным упрямством. Словом, он отправился в магазин и купил новый проигрыватель, еще дороже прежнего, и на этот раз продавец обещал Крабу вернуть стоимость покупки в двойном размере, если ему удастся обнаружить какой-нибудь звук, который не может быть воспроизведен на новом проигрывателе. Краб с энтузиазмом расписал мне достоинства своего нового приобретения, и я обещала ему как-нибудь зайти и полюбоваться на это чудо техники.

Ахилл: Если я заблуждаюсь, то поправьте меня. Держу пари, что, прежде чем явиться вторично в гости к Крабу, вы снова обратились с запросом к изготовителю проигрывателя, а затем сочинили и записали на пластинку новую песню "Меня нельзя сыграть на проигрывателе N 2", в основу которой положили полученные вами сведения о конструкции новой модели.

Черепаха: Блестящая дедукция, Ахилл! Вы просто в ударе!

Ахилл: Так что же случилось на этот раз?

Черепаха: Как вы и предполагали, во время моего второго визита к Крабу произошло то же, что в первый раз: фонограф рассыпался на бесчисленные осколки, погибла и пластинка.

Ахилл: Следовательно, Краб, наконец убедился, что никакого Совершенного проигрывателя не существуют.

Черепаха: Самое удивительное, что этого не произошло. Краб преисполнился убеждения, что следующая модель будет как нельзя лучше соответствовать представлению о Совершенном проигрывателе и, прихватив с собой вдвое большую сумму денег, он отправился...

Ахилл: Я кое-что придумал! Краб легко мог бы перехитрить вас, если бы купил проигрыватель более низкого класса, который не мог бы воспроизводить разрушающие его звуки. Этим он мог бы избежать вашего трюка.

Черепаха: Вы правы, но тогда Краб не достиг бы своей первоначально поставленной цели - стать обладателем фонографа, способного воспроизводить любой звук, даже если этот звук приводит к разрушению проигрывателя, что, разумеется, невозможно.

Ахилл: Это верно. Теперь я вижу, в чем состоит дилемма. Если какой-нибудь проигрыватель, например, Проигрыватель N X. достаточно высокого качества, то при попытке проиграть на нем пластинку с песней "Меня нельзя сыграть на проигрывателе N X" в нем возникает сильная вибрация, которая приводит к его разрушению... Следовательно, проигрыватель N Х не может быть Совершенным проигрывателем. Если попытаться обойти трюк единственно возможным способом - приобрести в качестве проигрывателя N Х проигрыватель более низкого класса, то он тем более не может считаться Совершенным проигрывателем. Насколько можно судить, каждый проигрыватель обладает одним из двух недостатков: он либо разрушается от сильной вибрации при воспроизведении определенных звуков, либо низкого класса. Следовательно, все проигрыватели - дефектные.

Черепаха: Не понимаю, почему вы называете проигрыватели "дефектными". Как бы не так! Существует простой и непреложный факт: от любого проигрывателя нельзя требовать, чтобы он мог выполнять все, что вам заблагорассудится. Если дефект в чем-то и кроется, то только не в проигрывателях, а в ваших надеждах на то, что проигрыватели могут выполнить то или это. Краб просто преисполнен таких несбыточных надежд.

Ахилл: Меня переполняет чувство сострадания к Крабу: независимо от того, будет ли проигрыватель высокого или низкого класса, Краб все равно оказывается в проигрыше.

Черепаха: Но позвольте мне продолжить свой рассказ. Мы с Крабом провели еще несколько раундов полюбившейся нам игры, и наш приятель стал проявлять признаки необычайной проницательности. Он тонко уловил основную идею того принципа, который был положен в основу моих песен, и направил по почте производителям проигрывателей описание звуковоспроизводящего устройства своей собственной конструкции, которое они и построили по его указаниям. Свое изобретение Краб назвал "Проигрыватель Омега". Это был несравненно более изощренный плод инженерной мысли, чем любой обычный проигрыватель.

Ахилл: Разрешите мне высказать несколько догадок относительно устройства "Проигрывателя Омега". В нем не было движущихся частей? Он был весь сделан из хлопка? Может быть...

Черепаха: Может быть, мне лучше все же продолжить мой рассказ. Это позволит нам сэкономить время. Начать хотя бы с того, что в "Проигрыватель Омега" была вмонтирована телевизионная камера, предназначенная для считывания любой записи перед ее воспроизведением. Эта камера была присоединена к миниатюрному компьютеру, который по звуковым бороздкам на пластинке определял характер звучания.

Ахилл: Все это просто великолепно! А что, скажите на милость, "Проигрыватель Омега" делал со всей этой информацией?

Черепаха: С помощью сложных вычислений вмонтированный в проигрыватель мини-компьютер определял, какое действие произведут на конструкцию записанные на пластинке звуки. Если оказывалось, что эти звуки могут разрушить проигрыватель в том виде, в каком он существует, то производилась необычайно хитроумная операция. Специальное устройство разбирало старый проигрыватель на крупные блоки я соединяло их по-новому. Таким образом, "Проигрыватель Омега" по существу мог изменять свою собственную конструкцию. Если звуки угрожали целостности старой конструкции, устройство выбирало новую конфигурацию блоков, для которой те же звуки были безопасными, и под руководством мини-компьютера собирало из блоков новый проигрыватель. И только после того, как перестроение заканчивалось, "Проигрыватель Омега" был готов к воспроизведению звукозаписи.

Ахилл: Ага! Должно быть, это положило конец вашим трюкам. Держу пари, что вы были слегка разочарованы.

Черепаха: Любопытно, что вы так думаете. Я, конечно, не предполагала, что вы знаете Теорему Гёделя о Неполноте вдоль и поперек. Вам приходилось слышать о такой теореме?

Ахилл: Чья теорема вдоль и поперек? Я никогда нс слыхивал ни о чем подобном. Не сомневаюсь, что это поистине замечательная теорема, но мне хотелось бы услышать что-нибудь еще о "музыке, от которой ломаются пластинки". История, которую вы мне поведали, действительно забавна. Думаю, я догадался. чем все кончилось. Продолжать игру с Крабом не имело смысла, и вы робко признали свое поражение. Разве все было не так?

Черепаха: Ох уже полночь! Боюсь, что мне пора спать. Мне бы очень хотелось продолжить нашу беседу, но я просто засыпаю на ходу.

Ахилл: Я тоже. Мне пора домой. (Направляется к двери, но на пороге внезапно останавливается и поворачивается.) Да, я совсем забыл! У меня для вас есть скромный подарок. Вот он. (Протягивает Черепахе небольшой, тщательно упакованный сверток.)

Черепаха: Ну к чему это? Огромное вам спасибо! Вы не возражаете, если я его вскрою? (Торопливо развертывает упаковку и обнаруживает внутри стеклянный бокал.) Какой великолепный бокал! Откуда вы знаете, что я просто помешана на стеклянных бокалах?

Ахилл: Не имел ни малейшего представления. Просто счастливое совпадение!

Черепаха: Если вы умеете хранить тайну, то я шепну вам по секрету: я давно занимаюсь поиском Совершенного бокала, безупречного по форме, без малейшего изъяна. Вот было бы здорово, если бы ваш бокал (обозначим его буквой G) оказался таким Совершенным бокалом. Скажите, а как вам удалось найти бокал G?

Ахилл: Прошу извинить, но это мой маленький секрет. Может быть, вам будет интересно узнать, кто его изготовил?

Черепаха: Чрезвычайно интересно!

Ахилл: Приходилось ли вам когда- нибудь слышать об искусном стеклодуве Иоганне Себастьяне Бахе? Собственно говоря, как стеклодув он не был особенно известен. Бах любил изготовлять на досуге стеклянные бокалы, но об этом мало кто знал. Бокал, который я вам преподнес,- последний из тех, что он выдул.

Черепаха: Это действительно последний изготовленный Бахом бокал? Великий Боже! Если бокал действительно вышел из стеклодувной мастерской Баха, то ему же цены нет! Но откуда у вас такая уверенность, что бокал изготовлен Бахом?

Ахилл: Взгляните на подпись, идущую вдоль ободка внутри бокала. Вы видите выгравированные буквы: В, А, С, Н?

Черепаха: Конечно, вижу! Какая необычная вещь! (Осторожно ставит бокал G на полку.) Кстати, знаете ли вы, что каждая из букв в фамилии Бах означает одну из нот?

Ахилл: Как это может быть? Ведь ноты принято обозначать буквами латинского алфавита от А (ля) до G (соль)?

Черепаха: Вы совершенно правы: в большинстве стран ноты принято обозначать именно так, как вы говорите. И в Германии, на родине Баха, ноты принято обозначать так же, но с одним-единственным исключением: когда мы пишем "В" (си), немцы пишут "Н", а то, что мы обозначаем "В-бемоль", немцы обозначают просто "В". Например, мы говорим о "Мессе си-минор" (B minor) Баха, а немцы толкуют о "H-moll Messe". Понятно?

Ахилл: Гм.. Кажется, понятно. Путаница в обозначениях немного сбивает с толку: "Н" - это "В", а В" - это "В-бемоль". Но тогда фамилия Баха в действительности таит в себе мелодию.

Черепаха: Странно, но факт. В действительности Бах очень тонко ввел эту мелодию в одно из своих самых сложных музыкальных произведений - в финальный "Контрапункт" своего "Искусства фуги". Это была последняя из когда-либо написанных Бахом фуг. Когда я услышала ее в первый раз, мне трудно было представить, чем она кончится. Фуга оборвалась неожиданно, так сказать, без всякого предупреждения. А затем... затем наступила мертвая тишина. Я сразу поняла, что в этот момент Бах умер. Стало невыносимо грустно, и я едва не разлетелась вдребезги. Как бы то ни было, В-А-С-Н - последняя тема той фуги. Она запрятана внутрь пьесы. Бах не обозначил ее в явном виде, но если вы захотите разузнать о ней подробнее, то найдете ее без особого труда. Существует столько хитроумнейших способов спрятать что-нибудь в музыке...

Ахилл: ...или в стихах. Вы знаете, поэты часто проделывают нечто подобное (хотя в наше время такие забавы вышли из моды). Например, Льюис Кэрролл частенько прятал слова и имена в первых буквах строк своих стихотворений. Такие стихи, в первых буквах которых скрыты какие-то слова, называются акростихами.

Черепаха: Бах также время от времени сочинял акростихи, что, неудивительно. Ведь контрапункт и акростих при всех различиях в уровне, на котором в них нечто скрыто, имеют и нечто общее. Но обычно акростихи представляют собой тайник с одним дном. А что мешает создать акростих с двойным дном - акростих в акростихе - или придумать контракростих, в котором первые буквы открывали бы скрытое в них слово, только если читать их в обратном порядке - от конца к началу. Подумать только, какие неисчерпаемые возможности таятся в форме! Кроме того, искусство акростиха - достояние не только поэтов. Создавать акростихи могут все, даже диалогики.

Ахилл: Ди-алогики? Это что-то новое!

Черепаха: Я сказала: "диалогики". Так я называю тех, кто сочиняет диалоги... Знаете, мне только что пришла в голову одна идея. Маловероятно, чтобы какой-нибудь диалогик написал контрапунктный акростих в честь Иогана Себастьяна Баха. А что если он скрыл свое, собственное имя в акростихе или в имени Баха? Впрочем, стоит ли ломать голову над такими пустяками? Всякий, кому захочется сочинить акростих, может сделать это, как ему больше нравится. Но вернемся к мелодическому имени Баха. Знаете ли вы, что мелодия В-А-С-Н, если ее играть сверху вниз и от конца к началу, звучит так же, как исходная мелодия?

Ахилл: Как можно играть что-нибудь сверху вниз? Играть от конца к началу - это еще я могу понять: у вас получится мелодия Н-С-А-В, но сверху вниз? По-видимому, вы просто разыгрываете меня.

Черепаха: Вот уж не знала, что у вас критический склад ума. Хорошо, попытаюсь вам продемонстрировать, что я имела в виду. Позвольте я схожу за своей скрипкой... (выходит в соседнюю комнату и через мгновенье возвращается со старинной скрипкой). И я сыграю для вас вперед, назад, по-всякому. Так, готово... (Ставит перед собой на пюпитр "Искусство фуги" и открывает ноты на последней странице). ...Вот последний "Контрапункт", а вот и последняя тема...

Черепаха начинает играть В-А-С-... Но как только ее смычок пытается извлечь ноту "Н", раздается резкий звук. и внезапно скрипка умолкает. Черепаха и Ахилл оглядываются как раз вовремя, чтобы увидеть мириады мельчайших осколков, падающих на пол с той полки, где за мгновение до того стоял бокал G. Наступает мертвая тишина.

Эпилог

Знакомство с книгой Дугласа Р. Хофштадтера можно было бы продолжить и дальше, но это вряд ли целесообразно: ощущение скуки, которое при этом, возможно, возникнет, читатель отнесет к книге Хофштадтера, тогда как вызвано оно исключительно пересказом. Еще одно замечание, почти постскриптум.

Как вы, вероятно, помните, мы в самом начале упоминали о том, что счастливый читатель может обнаружить книгу Хофштадтера в иностранном отделе библиотеки. Тщетно стали бы мы искать ее в русском отделе: книга Хофштадтера, которой зачитывались многие, на русский язык до сих пор не переведена. Одни из тех, от кого судьба перевода зависела в 1979 году, сочли ее "какой-то не такой", другим она показалась "слишком толстой", третьим... Впрочем, стоит ли приводить все "аргументы", единственное назначение которых - обосновать невозможность и даже нежелательность выхода этой книги (той самой).

"Что же делать читателям, которые не знают английского языка?"- спросите вы. "Конечно, выучить язык для начала,- ответим мы.- Знания эти заведомо пригодятся, даже если вам не повезет, и вы не сможете найти книгу Хофштадтера. Если же повезет, и вы прочитаете ее в подлиннике, то сможете оценить, почему вас с такой настойчивостью приглашали "на Хофштадтера". Наконец, если в необозримом будущем книга выйдет в русском переводе, то не премините воспользоваться случаем и прочитать первые, самые простенькие диалоги самому младшему члену семьи, тем самым заронив в его ум мудреца семена, которые могут дать самые неожиданные всходы!"

* Черепаха предлагает в качестве решения английское местоимение "HE" (он).- Ю. Д

** Черепаха называет английское слово "HEADACHE" (головная боль).- Ю. Д