Титульный лист и обзор содержания книги
Перевод Юрия Семенова
|
Данные из каталога Библиотеки Конгресса:
Дуглас Хофштадтер, 1945 -
Гедель, Эшер, Бах.
Библиография, с. 746. Имеется указатель
1. Метаматематика.
2. Симметрия.
3. Искусственный интеллект.
4. Бах, Иоганн Себастьян, 1685-1750
5. Эшер Морис Корнелис, 1898-1971
6. Гедель Курт
[QA.9.8.H63 1980] 510'.1 80-11354
ISBь 0-465-02656-7
Предисловие к юбилейной редакции (c) 1999 Дуглас Хофштадтер (c) 1979 Basic Books, Inc.
О Б З О Р
Часть I: GEB
Введение: Музыкально-логические приношения
Книга открывается историей "Музыкальных приношений" Баха. Бах экспромтом нанес визит королю Пруссии Фридриху Великому, где ему было предложено симпровизировать на тему, предложенную королем. Эта импровизация сформировала основу этой великой работы. "Музыкальные приношения" и их история формируют тему, на которую уже я импровизирую на протяжении всей книги, сделав ее, своего рода, "Метамузыкальными приношениями". Обсуждаются ссылки на себя же1 и взаимодействие между различными уровнями в произведениях Баха; это приводит к обсуждению параллельных идей в рисунках Эшера и, затем, теоремы Геделя. Здесь мы окажемся в области автоматизации рассуждений2 и компьютеров, а также обсудим возможность Искусственного Интеллекта. Введение завершается объяснением происхождения этой книги и, в особенности, ее Диалогов.
Трехголосная инвенция3.
Бах написал 15 трехголосных инвенций. В этом трехголосном Диалоге Ахиллес и Черепаха - выдуманные главные герои, изобретенные4 Зеноном5, чтобы проиллюстрировать его парадокс о движении. Очень короткий, он просто дает ощутить вкус Диалога.
Глава I. Головоломка MU.
Приводится простая формальная система (система MIU) и читателю предлагается решить ее, чтобы приобрести навыки обращения с формальными системами вообще. Вводятся такие фундаментальные понятия как цепочки6, теоремы, аксиомы, правила вывода, и их этимология, формальные системы, процедура принятия решения, работа внутри и вне системы.
Двуголосная инвенция.
Бах написал также 15 двуголосных инвенций, этот двуголосный Диалог написан не мною, а Льюисом Кэрроллом в 1895-ом году. Кэрролл заимствует Ахиллеса и Черепаху у Зенона, а я, в свою очередь, заимствую их у Кэрролла. Тема - отношения между умозаключениями, умозаключения об умозаключениях и т.д. Это похоже на парадокс Зенона о невозможности движения, как будто бы демонстрируемый использованием бесконечного спуска7, только здесь речь идет о том, что умозаключения невозможны. Это великолепный парадокс, ссылки на который еще не один раз встретятся в этой книге.
Глава II. Форма и смысл в математике.
Представлена новая формальная система (pq-система), она даже проще MIU-системы из Главы I. Очевидно бессмысленные изначально, ее символы неожиданно обнаруживают, что обладают смыслом, благодаря форме теорем, в которых они появляются. Это открытие - первое важное проникновение в смысл, у него глубокие связи с изоморфизмом. Затем обсуждаются различные понятия, связанные со смыслом, такие как истина, доказательство, манипуляция символами и неуловимая концепция "формы".
Соната для Ахиллеса соло.
Диалог, который имитирует "Сонату для скрипки соло". В частности, Ахиллес - единственный собеседник, поскольку это запись телефонного разговора с одной стороны, по другую сторону которого - Черепаха. Их беседа касается таких концепций, как "фигура" и "фон", в разных контекстах, например в искусстве Эшера, а также их различия. Диалог, сам по себе, является примером такого различия, поскольку линии Ахиллеса образуют "фигуру", а линии Черепахи, неявно отождествляемые с линиями Ахиллеса, образуют "фон".
Глава III. Фигура и фон.
Различия между фигурой и фоном в искусстве сравниваются с различиями между теоремами и не-теоремами в формальных системах. Вопрос "Обязательно ли фигура содержит столько же информации, сколько ее фон?" приводит к выявлению отличий между рекурсивно-счетными и рекурсивными множествами.
Контракростипункт.
Этот Диалог - центральный в книге, поскольку содержит ряд переформулировок Геделевской самоссылающейся конструкции и его теоремы о неполноте. Одна из переформулировок теоремы гласит: "Для любого проигрывателя существует такая запись, которую он не может воспроизвести". Заголовок Диалога - это гибрид слов "акростих" 8 и "контрапункт"9 - последнее - это латинское слово, которое Бах использовал, чтобы характеризовать многие фуги и каноны, составляющие его "Искусство фуги". Приводятся подробные ссылки на "Искусство фуги". В диалоге спрятаны некоторые акростишные трюки.
Глава IV. Совместимость, полнота и геометрия.
Предшествующий Диалог раскрывается до степени, возможной на этом уровне, отсылая нас к истории эвклидовой и неэвклидовой геометрии, которая приводится как иллюстрация туманного понятия неопределенного термина. Мы придем к идеям о совместимости различных и, возможно, "конкурирующих" геометрий. В результате этого обсуждения понятие неопределенных терминов прояснится и будет рассмотрено отношение неопределенных терминов с процессами восприятия и мышления.
Маленький гармонический лабиринт.
Базируется на одноименной органной пьесе Баха. Это шутливое введение в понятие рекурсивных, т.е. вложенных, структур. Он содержит рассказы внутри других рассказов. Рассказ, вместо ожидаемого завершения, остается открытым, так что читатель тоже останется заинтригованным и покинутым.
Глава V. Рекурсивные структуры и процессы.
Идея рекурсии представлена во многих различных контекстах: музыкальные и лингвистические схемы, геометрические структуры, математические функции, физические теории, компьютерные программы и др.
Канон в двойном увеличении10.
Ахиллес и Черепаха пытаются решить вопрос: "Что содержит больше информации: запись, или проигрыватель, воспроизводящий ее?" Этот странный вопрос возникает, когда Черепаха описывает запись, которая будучи воспроизведена двумя разными проигрывателями, порождает две разных мелодии: B-A-C-H и C-A-G-E. В конце концов оказывается, что эти мелодии одинаковые, но в своеобразном смысле.
Глава VI. Местоположение смысла.
Широкая дискуссия о том, как смысл расщепляется между кодированным сообщением, декодером и приемником. Приводятся примеры, включающие нити ДНК, нерасшифрованные надписи на древних табличках, трансляция музыкальной записи, распространяющейся в космическом пространстве. Родственность разума и "абсолютного" смысла постулирована.
Хроматическая фантазия и фурор11.
Короткий Диалог, не имеющий ничего общего, кроме заголовка, с "Хроматической фантазией и фугой" Баха. В нем рассматриваются способы манипулирования предложениями, сохраняющими их истинность, и, в частности, рассматривается вопрос о существовании правила использования слова "И". Этот Диалог имеет много общего с Диалогом Льюиса Кэрролла.
Глава VII. Исчисление высказываний12.
Предложено, как используя формальные правила управлять таким словом как "И". Еще раз подымаются идеи изоморфизма и автоматического приобретения значения символами. Все примеры в этой главе - это "Дзентенции" - сентенции, взятые из коанов Дзен. Это сделано преднамеренно, как своеобразная дерзость, поскольку коаны Дзен - заведомо нелогичные истории.
Крабий канон13.
Диалог базируется на одноименной пьесе из "Музыкальных приношений". Оба названы так, поскольку считается, что краб пятится назад. В этом Диалоге впервые появляется Краб14. Это, возможно, самый насыщенный Диалог в этой книге, в отношении формальных трюков и игры уровней. Гедель, Эшер и Бах глубоко вплетены в ткань этого короткого Диалога.
Глава VIII. Типографская теория чисел.
Представлено расширение исчисления высказываний, названное ТТЧ. В ТТЧ рассуждения теории чисел могут производиться путем жесткой манипуляции символами. Рассмотрено отличие между формальными рассуждениями и человеческой мыслью.
MU приношение.
Диалог предвосхищает некоторые новые темы этой книги. Показная заинтересованность Дзен-буддизмом и коанами - это на самом деле тонко завуалированная дискуссия о мире теорем и мире не-теорем, истинности и ложности, о строках и теории чисел. Делается мимолетная ссылка на молекулярную биологию, а именно, на генетический код. Здесь нет тесной связи с "Музыкальными приношениями", кроме созвучия в названиях и игр в самоссылочность.
Глава IX. Мумон и Гедель.
Сделана попытка поговорить о странных идеях Дзен-буддизма. Дзен-буддистский монах Мумон, известный комментатор многих коанов, является центральной фигурой. Попутно идеи Дзен обнаруживают метафорическое сходство с некоторыми современными идеями философии математики. После этой "Дзеннерии" следует введение в фундаментальную идею Геделя о геделевской нумерации и делается первый проход через теорему Геделя.
Часть II: EGB
Прелюдия15...
Этот Диалог связан со следующим. Они основаны на прелюдиях и фугах из "Хорошо темперированного клавира" Баха. Ахиллес и Черепаха принесли подарок Крабу, у которого в гостях - Энтитер16. Выясняется, что это ни что иное как запись "Х.Т.К"17, и ее немедленно пускают в дело. Поскольку звучит прелюдия - они обсуждают структуру прелюдий и фуг, что подводит Ахиллеса к вопросу: как слушать фугу - целиком или как сумму отдельных голосов. Это спор между холизмом и редукционизмом, который скоро состоится в Диалоге "Муравьиная фуга" 15
Глава X. Уровни описания и компьютерные системы.
Обсуждаются разные уровни рассмотрения карин, шахматных досок и компьютерных систем. Последние изучаются детально. Это вовлечет нас в обсуждение машинных языков, ассемблера, языков высокого уровня, операционных систем и т.д. Возникает вопрос о том, как много промежуточных уровней существует, и существуют ли они вообще.
...Муравьиная фуга18.
Имитация музыкальной фуги: каждый голос вступает с одного и того же утверждения. Тема: холизм или редукционизм, выносится на рассмотрение рекурсивной картиной, составленной из слов, в свою очередь составленных из меньших слов и т.д. Слова, которые появляются на четырех уровнях - это "ХОЛИЗМ", "РЕДУКЦИОНИЗМ" и "МЮ". Затем дискуссия обращается на подружку Энтитера - тетушку Хиллари19 - муравьиной колонии, наделенной самосознанием. Разные уровни ее мыслительного процесса становятся предметом обсуждения. В Диалоге скрыто много замаскированных20 трюков. Ссылки на параллельные трюки в фуге на записи, которую все четверо слушают, в виде намеков указываются читателю. В конце "Муравьиной фуги" возвращаются темы из "Прелюдии", но заметно изменившиеся.
Глава XI. Мозг и мысли.
"Как мышление обеспечивается устройством21 мозга?" - тема этой главы. В первую очередь дается обзор крупно- и мелкомасштабной структуры мозга. Затем следуют некоторые размышления об отношениях мыслей и нейронной активности.
Англо-франко-германская сюита.
Интерлюдия составлена из бессмысленного стихотворения Льюиса Кэрролла Jabberwocky, с ее двумя переводами: французским и немецким, оба сделаны в прошлом столетии22.
Глава XII. Ум и мысли.
Приведенные стихотворения ставят вопрос ребром: что же языки или все же мысли могут быть спроецированы друг на друга. Каким образом два физически разделенных мозга могут вступать в сношения друг с другом? В качестве наводящей используется географическая аналогия. Возникает вопрос: "Может ли мозг быть понят извне хоть в каком-то объективном смысле?"
Ария с разнообразными вариациями23.
Диалог, форма которого основана на "Гольдбергских вариациях" Баха, содержание которого связано с проблемами теории чисел, таких как гипотеза Гольдбаха. Этот гибрид предназначен для демонстрации того, как утонченность теории чисел берет начало в том факте, что имеется много разных вариаций на тему поиска в бесконечном пространстве. Некоторые из них приводят к бесконечному поиску, некоторые - к конечному, в то время как некоторые парят между теми и другими.
Глава XIII. BlooP, FlooP и GlooP.
Это названия 3-х компьютерных языков. Программы на BlooP могут выполнять только заведомо конечные поиски, в то же время программы на FlooP выполняют поиски, о которых заранее ничего не известно, и даже бесконечные поиски. Задача этой главы - выработать интуитивное чутье, необходимое для понимания простой и общей рекурсивных функций в теории чисел, поскольку они - неотъемлемая часть доказательства Геделя.
"Ария на G-струнах" или "Просушка на G-цепочках" 24.
Диалог, в котором самоссылающаяся конструкция Геделя отображена в словах. Идея принадлежит У.В.О. Куину (W.V.O. Quin). Служит заготовкой для следующей главы.
Глава XIV. О формально недоказуемых утверждениях ТТЧ.
Название этой главы - это адаптированное название статьи Геделя 1931-го года, в которой впервые была опубликована его теорема о неполноте. Тщательно рассмотрены две основных части доказательства Геделя. Показано, что допущение самосогласованности ТТЧ приводит к выводу о неполноте ТТЧ (или любой другой сходной системы). Обсуждается связь с эвклидовой и неэвклидовой геометрией. Мы, с некоторой осторожностью, вступаем в область применения философии математики.
Ко дню рождения кантататата...25
В которой Ахиллес не может убедить хитрую и скептичную Черепаху, что сегодня его, Ахиллеса, день рождения. Он повторяет безуспешные попытки, что предвосхищает повторяемость аргументации Геделя.
Глава XV. Прыжок из системы.
Показана повторяемость аргументации Геделя, также делается вывод, что ТТЧ не только неполна, но и "существенно неполна". Анализируется хорошо известный аргумент Дж.Р.Лукаса (J.R.Lucas) чтобы показать, что теорема Геделя демонстрирует, непредставимость человеческой мысли как "механической" в любом смысле, и искомое находится.
Поучительные размышления курильщика.
Диалог обращается ко многим темам, с акцентированием внимания на самовоспроизводстве и ссылках на себя. Телевизионные камеры снимают телевизионные экраны, а вирусы и другие субклеточные сущности, собирающие сами себя, приведены в качестве примеров. Заголовок взят из стихотворения И.С.Баха, который появляется здесь в необычной роли.
Глава XVI. Самоссылки и самовоспроизводство.
Эта глава - о связи между самоссылками и самовоспроизводящимися сущностями (такими как компьютерные программы или молекулы ДНК). Обсуждаются отношения между самовоспроизводящимися сущностями и внешними механизмами, которые помогают им в воспроизводстве себя (например, компьютерами или протеинами), в особенности невозможность четко различать их.
The Magnificrab, Indeed.
Заглавие - это каламбур на тему "Magfnificat" in D26. Это сказка о Крабе, у которого появилась магическая способность распознания истинных и ложных утверждений теории чисел, рассматривая их как запись музыкальных пьес, проигрывая их на своей флейте, и определяя - "красивы" они или нет.
Глава XVII. Черч, Тьюринг, Тарский и другие.
Вымышленный Краб, из предыдущего Диалога, заменяется различными реальными людьми, обладающими поразительными математическими способностями. Тезис Черча-Тьюринга, который связвывает ментальную активность с вычислениями представлен в версиях различной силы. Все они анализируются, особенно с точки зрения их связи с механическим моделированием человеческих мыслей или программирования машины, способной чувствовать и творить. Связь между активностью мозга и вычислениями подымает некоторые другие темы: проблему останова машины Тьюринга и теоремы истинности Тарского.
SHRDLU, Забавы человеческой конструкции.
Этот Диалог вырван из статьи Терри Винограда (Terry Winograd) о его программе SHRDLU: лишь некоторые имена были изменены. В нем программа общается с человеком о т.н. "мире кубиков" на довольно выразительном английском. Компьютерная программа была создана для демонстрации ее возможности к некоторому настоящему пониманию - в ее ограниченном мире. Заголовок Диалога базируется на одном из ритмов27 Кантаты 147 "Иисус, возрадуйся человеческим страстям".
Глава XVIII. Искусственный интеллект: Ретроспективы.
Глава открывается обсуждением известного "тезиса Тьюринга", предложенного компьютерным пионером Алланом Тьюрингом, как способа обнаружить наличие или отсутствие "мысли" у машины. Отсюда мы отправимся в краткую экскурсию по истории искусственного интеллекта. Мы затронем программы, которые могут - на каком-то уровне - играть в игры, доказывать теоремы, решать задачи, сочинять музыку, заниматься математикой и пользоваться естественным языком (т.е. английским).
Контрафакт.
О том, как мы неосознанно организуем наши мысли так, что мы можем представлять себе гипотетические варианты реального мира в любой момент. Также об искаженных вариантах этой способности - такой, как завладевшая новым персонажем, Ленивцем, жадным любителем жареного картофеля и яростного ненавистника любых других подходов28.
Глава XIX. Искусственный интеллект: Перспективы.
Диалог переключает дискуссию на вопрос том, как знание представляется на разных уровнях контекста. Это приводит к современным идеям искусственного интеллекта - фреймам. Для конкретности представлен организованный фреймо-подобным образом набор головоломок на визуальные образы29. Затем обсуждаются глубокие последствия взаимодействия концепций вообще, которое завершается некоторыми рассуждениями о творчестве. Глава заканчивается набором личных "Вопросов и размышлений" по поводу ИИ и разума вообще.
Канон Ленивца.
Канон, имитирующий канон Баха, в котором один голос играет ту же мелодию, что и другой, только в обратную сторону и вдвое медленнее, пока не вступает третий голос. У нас же Ленивец следует той же линии, что и Черепаха только в противоположную сторону и вдвое медленнее, пока не вмешивается Ахиллес.
Глава XX. Странные петли30 и спутанная иерархия.
Итог многих концепций иерархических систем и самоссылок. Это касается запутанных ситуаций, когда система обращается сама к себе, например: наука исследует науку, правительство расследует ошибки собственного правления, искусство нарушает законы искусства, и, наконец, человек рассуждает о своем собственном мозге и разуме. Утверждает ли теорема Геделя что-то об этих "клубках"? Связана ли с ней свобода воли и чувство самоосознания31. Глава заканчивается попыткой собрать Геделя, Эшера и Баха вместе еще раз.
Шестиголосный ричеркар.
Красочная игра со множеством идей, уже встречавшихся в этой книге. Это вновь проигранная история "Музыкальных приношений", которая начинала книгу; одновременно это перевод в словесную форму наиболее сложной пьесы "Музыкальных приношений" - шестиголосного ричеркара. Эта двойственность насыщает Диалог большим числом уровней, чем любой другой в книге. Фридрих Великий заменен Крабом, рояль - компьютером и т.д. Возникает много сюрпризов. Диалог касается проблем разума, сознания, свободной воли, искусственного интеллекта, теста Тьюринга и всего в этом духе, введенного ранее. Он завершается неявной ссылкой на начало книги, что превращает ее в большую самоссылающуюся петлю, символизирующую сразу музыку Баха, рисунки Эшера и теорему Геделя.
