\input style \chapno=4\subchno=2\subsubchno=1\chapnotrue Впмшыйоуфчп рхвмйлбгйк п дефбмси ртпзтбнн дмс тбвпфщ ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк тбууесощ рп "феиойюеулйн рбнсфощн ъбрйулбн", тбуртпуфтбосенщн тбъмйюощнй ртпйъчпдйфемснй ЬЧН, оп умхюбмйуш й рхвмйлбгйй ьфйи ртпзтбнн ч пфлтщфпк мйфетбфхте. Рпнйнп ртйчедеоощи чщые тбвпф ун.~R.~H.~Stark, D.~Ч.~McMillan, {\sl Math.~Comp.,\/} {\bf 5} (1951), 86--92, зде прйубоб ртпзтбннб дмс тебмйъбгйй об рбоемшоп-ыфелетопн хуфтпкуфче; D.~McCracken, Digital Computer Programming, New York, Wiley, 1957, 121--131; J.~W.~Carr~III, {\sl CACM,\/} {\bf 2} (May, 1959), 10--15; W.~G.~Wadey, {\sl JACM,\/} {\bf 7} (1960), 129--139; D.~E.~Knuth, {\sl JACM,\/} {\bf 8} (1961), 119--128; O.~Kesner, {\sl CACM,\/} {\bf 5} (1962), 269--271; F.~Т.~Brooks, K.~E.~Iverson, Automatic data processing, New York, Wiley, 1963, 184--199. Пвухцдеойе бтйжнефйюеулйи претбгйк ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк у фпюлй ътеойс йоцеоетб-ьмелфтпоэйлб нпцоп обкфй ч уфбфше У.~З.~Льнрвеммб "Floating-point operation" ч увптойле "Planning a Computer System", [ed.~by~W.~Buchholz, New York, McGrow-Hill, 1962,92--121]. Дпрпмойфемшоще уущмлй об мйфетбфхтх ч~р.~4.2.2. \excercises \ex[10] Лбл вхдхф чщзмсдефш юйумп Бчпзбдтп й рпуфпсообс Рмболб, еумй йи ртедуфбчйфш ч чйде юефщтеитбътсдощи юйуем у рмбчбаэек фпюлпк рп пуопчбойа~$100$ у йъвщфлпн~$50$? (Йнеооп фблпчп вщмп вщ ртедуфбчмеойе ч нбыйое~\MIX{} (лбл ч~\eqref[5]), еумй вщ тбънет вбкфб тбчосмус~$100$.) \ex[12] Ртедрпмпцйн, юфп рплбъбфемш~$e$ мецйф ч йофетчбме~$0\le e \le E$; лблпчщ обйвпмшыее й обйнеошыее рпмпцйфемшоще ъобюеойс, лпфптще нпзхф вщфш ъбрйубощ лбл $p\hbox{-тбътсдоще}$ юйумб у рмбчбаэек фпюлпк рп пуопчбойа~$b$ у йъвщфлпн~$q$? Лблпчщ обйвпмшыее й обйнеошыее рпмпцйфемшоще ъобюеойс, лпфптще нпзхф вщфш ртедуфбчмеощ ч чйде \emph{оптнбмйъпчбоощи} фблйи юйуем? \ex[20] Рплбцйфе, юфп еумй нщ тбвпфбен у оптнбмйъпчбоощнй дчпйюощнй юйумбнй у рмбчбаэек фпюлпк, фп ухэеуфчхеф урпупв оенопзп хчемйюйфш фпюопуфш веъ хчемйюеойс пвRенб йурпмшъхенпк рбнсфй: $p\hbox{-тбътсдоха}$ дтпвоха юбуфш нпцоп ртедуфбчмсфш ртй рпнпэй чуезп мйыш $p-1$~тбътсдпч нбыйоопзп умпчб, еумй юхфш-юхфш хнеошыйфш йофетчбм ъобюеойк рплбъбфемс. \rex[15] Рхуфш~$b=10$, $p=8$. Лблпк теъхмшфбф дбуф бмзптйфн~A дмс претбгйй~$(50, +.98765432) \oplus (49, +.33333333)$? Дмс претбгйй~$(53, -.99987654) \oplus (54, +.10000000)$? Дмс претбгйй~$(45, -.50000001) \oplus (54, +.10000000)$? \ex[M23] Дплбцйфе, юфп нецдх ыбзбнй~A5 й~A6 бмзптйфнб~A нпцоп, ое йънеосс теъхмшфбфб, рпнеуфйфш умедхаэха претбгйа: еумй~$f_u$ й~$f_v$ йнеаф пдйоблпчщк ъобл, фп ъбнеойфш~$f_v$ об~$\sign(f_v)b^{-p-2}\floor{b^{p+2}\abs{f_v}}$; еумй ъоблй~$f_u$ й~$f_v$ ртпфйчпрпмпцощ, фп ъбнеойфш~$f_v$ об~$\sign(f_v)b^{-p-2}\ceil{b^{p+2}\abs{f_v}}$. (Ьжжелф ьфпк претбгйй упуфпйф ч "хтеъбойй"~$f_v$ дп $p+2$~тбътсдпч, юфпвщ нйойнйъйтпчбфш дмйох тезйуфтб, оепвипдйнха дмс чщрпмоеойс умпцеойс ч ыбзе~A6.) \ex[22] Хдбюоб мй йдес ъбнеойфш уфтплй~38--40 ртпзтбннщ~A пдопк-едйоуфчеоопк лпнбодпк~"|SLC 5|"? \ex[M21] Лблйе йънеоеойс оепвипдйнп ртпйъчеуфй ч бмзптйфне~A, юфпвщ по пвеуреюйчбм чщдбюх ртбчймшоп плтхзмеоопзп оптнбмйъпчбоопзп теъхмшфбфб, дбце еумй чипдоще дбооще ое оптнбмйъпчбощ? (Умпчб "ртбчймшоп плтхзмеоощк" пъобюбаф, юфп теъхмшфбф йнееф обйвпмшыха чпънпцоха фпюопуфш ч $p$~тбътсдби ч ртедрпмпцеойй, юфп чипдоще дбооще~$u$ й~$v$ ч фпюопуфй тбчощ~$f_u\times b^{e_u-q}$ %% 242 й~$f_v\times b^{e_v-q}$ уппфчефуфчеооп, ипфс, вщфш нпцеф, й ое оптнбмйъпчбощ. Ч юбуфопуфй, $u$ ймй~$v$ нпзхф йнефш охмечха дтпвоха юбуфш у пюеош впмшыйн рплбъбфемен, й фблпк претбод ч лпофелуфе дбоопзп хртбцоеойс чпуртйойнбмус вщ лбл тбчощк охма.) \ex[25] Ртйчедйфе ртйнетщ чипдощи ъобюеойк, дмс лпфптщи рпдртпзтбннб~|FADD| ч ртпзтбнне~A ое пвеуреюйчбеф рпмхюеойс "ртбчймшоп плтхзмеоопзп оптнбмйъпчбоопзп пфчефб" ч унщуме хрт.~7. \ex[Н24] (Х.~Лбибо.) Ртедрпмпцйн, юфп йуюеъопчеойе рплбъбфемс ртйчпдйф л ртйучпеойа теъхмшфбфх ъобюеойс охмш веъ лблпзп-мйвп хлбъбойс пв пыйвле. Йурпмшъхс чпушнйтбътсдоще деусфйюоще юйумб у рмбчбаэек фпюлпк у йъвщфлпн охмш й рплбъбфемен~$e$ ч йофетчбме~$-50\le e < 50$, обкдйфе фблйе рпмпцйфемшоще ъобюеойс~$a$, $b$, $c$, $d$ й~$y$, дмс лпфптщи чщрпмосафус уппфопыеойс~\eqref[11]. \ex[M15] Ртйчедйфе ртйнет оптнбмйъпчбоощи чпушнйтбътсдощи деусфйюощи юйуем у рмбчбаэек фпюлпк~$u$ й~$v$, ч ртпгеууе умпцеойс лпфптщи ртпйуипдйф ретерпмоеойе ртй плтхзмеойй. \rex[M20] Дбкфе ртйнет оптнбмйъпчбоощи чпушнйтбътсдощи деусфйюощи юйуем у рмбчбаэек фпюлпк~$u$ й~$v$, ч ртпгеууе хнопцеойс лпфптщи ртпйуипдйф ретерпмоеойе ртй плтхзмеойй. \ex[M25] Дплбцйфе, юфп ретерпмоеойе ртй плтхзмеойй ое нпцеф ртпйуипдйфш ч ипде чщрпмоеойс жбъщ оптнбмйъбгйй ртй демеойй юйуем у рмбчбаэек фпюлпк. \rex[Н23] Нйуфет УнщымЈощк умедхаэйн пвтбъпн нпдйжйгйтпчбм ртйен, ртйчпдсэйк л~\eqref[13] у фен, юфпвщ ртпйъчпдйфш \emph{хтеъбойе} рпмпцйфемшощи юйуем~$u$ у рмбчбаэек фпюлпк дп гемщи юйуем~$\floor{u}$ у жйлуйтпчбоопк фпюлпк ч ртедрпмпцеойй, юфп~$00$, фп~$u \otimes w \le v \otimes w$, $u \oslash w \le v \oslash w$, $w \oslash u \ge w \oslash v$.}\cr } } %% 246 Йфбл, еумй претбгйй ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк хуфбопчмеощ ч уппфчефуфчйй у пртедемеоощнй хумпчйснй, фп, оеунпфтс об оефпюопуфш убнйи претбгйк, упитбосефус оенбмбс тезхмстопуфш. Ч ртйчедеоопк чщые лпммелгйй фпцдеуфч, тбъхнеефус, чуе це втпубефус ч змбъб пфухфуфчйе оеулпмшлйи йъчеуфощи ъблпопч бмзевтщ; ъблпо буупгйбфйчопуфй дмс хнопцеойс ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк чщрпмосефус ое чрпмое фпюоп, лбл ьфп вхдеф чйдоп йъ хрт.~3, юфп це лбубефус ъблпоб дйуфтйвхфйчопуфй, учсъщчбаэезп претбгйй~$\otimes$ й~$\oplus$), фп по нпцеф обтхыбфшус, й ртй ьфпн дпчпмшоп ъобюйфемшоп. Рхуфш, обртйнет, $u=20000.000$, $v=-6.0000000$ й~$w=6.0000003$, фпздб \EQ{ \eqalign{ (u\otimes v) \oplus (u\otimes w) &= 120000.00 \oplus 120000.01 =.010000000,\cr u \otimes (v\oplus w) &= 20000.000 \otimes .00000030000000 = .0060000000,\cr } } фбл юфп \EQ[15]{ u\otimes (v\oplus w) \ne (u\otimes v) \oplus (u \otimes w). } Бобмпзйюоп, оефтхдоп хлбъбфш ртйнетщ, лпздб~$2(u^2\oplus v^2)<(u\oplus v)^2$; ъбртпзтбннйтпчбоопе чщюйумеойе утедоезп лчбдтбфйюопзп пфлмпоеойс дмс тсдб обвмадеойк рп жптнхме \EQ{ \sigma = {1\over n}\sqrt{n \sum_{1\le k \le n} x_k^2-\left(\sum_{1\le k \le n} x_k\right)^2} } нпцеф ртйчеуфй л йъчмеюеойа лчбдтбфопзп лптос йъ пфтйгбфемшопзп юйумб! Дбце еумй бмзевтбйюеулйе ъблпощ чщрпмосафус ое чрпмое уфтпзп, нщ нпцен йурпмшъпчбфш обый нефпдщ дмс пртедемеойс фпзп, у лблпк уфереоша фпюопуфй чщрпмосефус ъблпо. Йъ пртедемеойс~$\round(x, p)$ умедхеф, юфп \EQ[16]{ \round(x, p)=x(1+\sigma_p(x)), } зде \EQ[17]{ \abs{\sigma_p(x)}\le {1\over 2}b^{1-p}. } Умедпчбфемшоп, нщ чуездб нпцен ъбрйубфш \EQ{ \eqalignno{ a\oplus b &= (a+b)(1+\delta_p(a+b)), & (18)\cr a\ominus b &=(a-b)(1+\delta_p(a-b)), & (19)\cr a\otimes b &= (a\times a) (1+\delta_p(a\times b)), & (20)\cr a\oslash b &=(a/b)(1+\delta_p(a/b)). & (21)\cr } } Ъдеуш дпчпмшоп ртпуфщн урпупвпн нпцоп пгеойфш пфопуйфемшоха пыйвлх оптнбмйъпчбоощи чщюйумеойк ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк. Жптнхмщ~\eqref[18]--\eqref[21] умхцбф змбчощн йоуфтхнеофпн дмс пгеолй пыйвпл ч бтйжнефйле оптнбмйъпчбоощи юйуем у рмбчбаэек фпюлпк. %% 247 Ч лбюеуфче ртйнетб фйрйюопк ртпгедхтщ пгеолй пыйвлй тбуунпфтйн ъблпо буупгйбфйчопуфй хнопцеойс. Лбл рплбъщчбеф хрт.~3, $(u\times v)\otimes w$, чппвэе зпчптс, ое тбчоп~$u\otimes (v\otimes w)$; оп уйфхбгйс ч дбоопн умхюбе обнопзп мхюые, юен ч умхюбе ъблпоб буупгйбфйчопуфй умпцеойс~\eqref[1] й ъблпоб дйуфтйвхфйчопуфй~\eqref[15]. Ч убнпн деме, ччйдх~\eqref[17] й~\eqref[20] йнеен \EQ{ \eqalignter{ (u\otimes v)\otimes w &= ((uv)(1+\delta_1))\otimes w &= uvw(1+\delta_1)(1+\delta_2),\cr u\otimes(v\otimes w) &= u\otimes((vw)(1+\delta_3)) &= uvw(1+\delta_3)(1+\delta_4)\cr } } дмс оелпфптщи~$\delta_1$, $\delta_2$, $\delta_3$, $\delta_4$ ртй хумпчйй, юфп ое ртпйуипдйф ретерпмоеойс ймй йуюеъопчеойс рплбъбфемс, ртйюен~$\abs{\delta_j}\le {1\over2}b^{1-p}$ дмс лбцдпзп~$j$. Умедпчбфемшоп, \EQ{ {(u\otimes v)\otimes w \over u\otimes (v\otimes w)} ={(1+\delta_1)(1+\delta_2)\over (1+\delta_3)(1+\delta_4)} =1+\delta, } зде \EQ[22]{ \abs{\delta}\le 2b^{1-p}/\left(1-{1\over2}b^{1-p}\right)^2. } Фен убнщн нщ хуфбопчймй, юфп $(u\otimes v)\otimes w$ \emph{ртйвмйъйфемшоп тбчоп}~$u\otimes (v\otimes w)$, ъб йулмаюеойен феи умхюбеч, лпздб ртпйуипдйф йуюеъопчеойе ймй ретерпмоеойе рплбъбфемс. Ьфб йофхйфйчобс йдес "ртйвмйъйфемшопзп тбчеоуфчб" ъбумхцйчбеф впмее рпдтпвопзп йъхюеойс; нпцоп мй тбъхнощн пвтбъпн дбфш впмее фпюоха жптнхмйтпчлх ьфпзп хфчетцдеойс? Ртпзтбннйуф, йурпмшъхаэйк бтйжнефйюеулйе претбгйй ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк, рпюфй ойлпздб ое йурщфщчбеф цембойс ртпчетйфш, ое чщрпмосефус мй тбчеоуфчп~$u=v$ (ймй рп лтбкоек нете по едчб мй лпздб-ойвхдш рщфбефус ьфп удембфш), фбл лбл тбчеоуфчп счмсефус ртедемшоп нбмпчетпсфощн упвщфйен. Обртйнет, еумй йурпмшъхефус телхттеофопе уппфопыеойе \EQ{ x_{n+1}=f(x_n), } п лпфптпн фептйс, чъсфбс йъ лблпк-фп лойцлй, хфчетцдбеф, юфп $x_n$~уфтенйфус л оелпфптпнх ртедемх ртй~$n\to\infty$, фп, лбл ртбчймп, вщмп вщ пыйвлпк ртпдпмцбфш чщюйумеойс, рплб дмс оелпфптпзп~$n$ ое пухэеуфчйфус тбчеоуфчп~$x_{n+1}=x_n$, фбл лбл рпумедпчбфемшопуфш~$x_n$ нпцеф ччйдх плтхзмеойс ртпнецхфпюощи теъхмшфбфпч плбъбфшус ретйпдйюеулпк у впмшыйн ретйпдпн. Тбъхноп ртпдпмцбфш чщюйумеойс мйыш дп феи рпт, рплб дмс оелпфптпзп рпдипдсэйн пвтбъпн чщвтбоопзп~$\delta$ ое уфбоеф уртбчедмйчп оетбчеоуфчп~$\abs{x_{n+1}-x_n}<\delta$; оп фбл лбл нщ ое ъобен ъбтбоее рптсдлб чемйюйощ~$x_n$, еэе впмее ртбчймшоп дпцйдбфшус рпсчмеойс оетбчеоуфчб %%248 \EQ[23]{ \abs{x_{n+1}-x_n}\le \varepsilon\abs{x_n}; } юйумп~$\varepsilon$ зптбъдп мезюе чщвтбфш ъбтбоее. Уппфопыеойе~\eqref[23]---ьфп дтхзпк урпупв чщтбцеойс фпзп жблфб, юфп юйумб~$x_{n+1}$ й~$x_n$ ртйвмйъйфемшоп тбчощ; й обые пвухцдеойе рплбъщчбеф, юфп ртй тбуунпфтеойй чщюйумеойк обд юйумбнй у рмбчбаэек фпюлпк уппфопыеойе "ртйвмйъйфемшопзп тбчеоуфчб" вщмп вщ впмее рпмеъоп, юен фтбдйгйпоопе уппфопыеойе тбчеоуфчб, еумй фпмшлп обн хдбуфус пртедемйфш ретчпе уппфопыеойе обдмецбэйн пвтбъпн. Дтхзйнй умпчбнй, фпф жблф, юфп уфтпзпе тбчеоуфчп чемйюйо ч уйуфене у рмбчбаэек фпюлпк йзтбеф пюеош оевпмшыха тпмш, ртйчпдйф л оепвипдйнпуфй ччеуфй опчха претбгйа \emph{утбчоеойс чемйюйо у рмбчбаэек фпюлпк,} ртедобъобюеооха дмс пвмезюеойс пгеопл пфопуйфемшощи ъобюеойк дчхи фблйи чемйюйо. Ртедуфбчмсафус ртйзпдощнй умедхаэйе пртедемеойс дмс юйуем у рмбчбаэек фпюлпк~$u=(e_n, f_n)$ й~$v=(e_v, f_v)$ рп пуопчбойа~$b$ у йъвщфлпн~$q$: \EQ{ \eqalignno{ u &\prec v(\varepsilon) \hbox{ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$v-u>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(24)\cr u &\sim v(\varepsilon) \hbox{ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$\abs{v-u}\le \varepsilon \max (b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(25)\cr u &\succ v(\varepsilon) \hbox{ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$u-v>\varepsilon\max(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$;} &(26)\cr u &\approx v(\varepsilon) \hbox{ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$\abs{v-u}\le\varepsilon\min(b^{e_u-q}, b^{e_v-q})$.} &(27)\cr } } Упзмбуоп ьфйн пртедемеойсн, дмс мавпк дбоопк рбтщ ъобюеойк~$u$,~$v$ нпцеф чщрпмосфшус ч фпюопуфй пдоп йъ уппфопыеойк~$u\prec v$ ("пртедемеооп неошые"), $u\sim v$ ("ртйвмйъйфемшоп тбчоп") ймй~$u\succ v$ ("пртедемеооп впмшые"). Уппфопыеойе~$u\approx v$---оеулпмшлп впмее уймшопе, оецемй~$u\sim v$, й езп нпцоп юйфбфш фбл: "$u$ рп ухэеуфчх тбчоп~$v$". Чуе ьфй уппфопыеойс ъбдбафус рпутедуфчпн рпмпцйфемшопзп юйумб~$\varepsilon$, йънетсаэезп уфереош тбуунбфтйчбенпзп ртйвмйцеойс. Пдойн йъ урпупвпч йуфпмлпчбойс ртйчедеоощи пртедемеойк упуфпйф ч фпн, юфпвщ мавпнх юйумх~$u$ у рмбчбаэек фпюлпк рпуфбчйфш ч уппфчефуфчйе нопцеуфчп~$S(u)\set{x \mid \abs{x-u}\le \varepsilon b^{e_u-q}}$; нопцеуфчп~$S(u)$ ртедуфбчмсеф упвпк упчплхропуфш чеэеуфчеоощи юйуем, тбурпмпцеоощи чвмйъй~$u$, й пртедемеоп ртй рпнпэй рплбъбфемс~$u$. Ч фетнйоби ьфйи нопцеуфч уппфопыеойе~$u\prec v$ чщрпмосефус фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$S(u)S(v)$ й~$S(u)>v$; $u\approx v$ фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб~$u\in S(v)$ й~$v\in S(u)$. (Ъдеуш нщ ртедрпмбзбен, юфп рбтбнефт~$\varepsilon$, йънетсаэйк уфереош ртйвмйцеойс, жйлуйтпчбо; ч впмее рпдтпвопк ъбрйуй нпцоп вщмп пфтбъйфш й ъбчйуйнпуфш~$S(u)$ пф~$\varepsilon$.) Чпф оелпфптще умедуфчйс йъ ртйчедеоощи пртедемеойк: \EQ{ \displaylinesno{ \hbox{еумй~$u\prec v(\varepsilon)$, фп~$v\succ u(\varepsilon)$;} & (28)\cr \hbox{еумй~$u\approx v(\varepsilon)$, фп~$u\sim v(\varepsilon)$;} & (29)\cr u\approx u(\varepsilon); & (30)\cr \hbox{еумй~$u\prec v(\varepsilon)$, фп~$u $\sim$, Уппфопыеойс~$\prec$, $\sim$, $\succ$ й~$\approx$ рпмеъощ дмс юйумеоощи бмзптйфнпч, й рпьфпнх тбъхноб йдес пвеуреюеойс ЬЧН ртпзтбннбнй утбчоеойс юйуем у рмбчбаэек фпюлпк обтсдх у ртпзтбннбнй чщрпмоеойс обд ойнй бтйжнефйюеулйи декуфчйк. %% 250 Феретш чопчш ретелмаюйн обые чойнбойе об чпртпу п обипцдеойй \emph{фпюощи} уппфопыеойк, лпфптщн хдпчмефчптсаф претбгйй обд чемйюйобнй у рмбчбаэек фпюлпк. Йофетеуоп пфнефйфш, юфп умпцеойе й чщюйфбойе фблйи чемйюйо ое рпмопуфша чщрбдбаф йъ рпмс ътеойс блуйпнбфйлй, фбл лбл пой хдпчмефчптсаф оефтйчйбмшощн фпцдеуфчбн, жптнхмйтхенщн ч фептенби~A й~B. \proclaim Фептенб~A. Рхуфш~$u$ й~$v$---оптнбмйъпчбооще юйумб у рмбчбаэек фпюлпк. Фпздб \EQ[42]{ ((u\oplus v)\ominus u)+((u\oplus v)\ominus ((u\oplus v)\ominus u))=u\oplus v, } %% ртй хумпчйй юфп => ртй хумпчйй, юфп ртй хумпчйй, юфп ое ртпйуипдйф ретерпмоеойс ймй йуюеъопчеойс рплбъбфемс. \emph{Ъбнеюбойе.} Ьфп дпчпмшоп зтпнпъдлпе фпцдеуфчп нпцоп ретерйубфш ч умедхаэен впмее ртпуфпн чйде. Рпмпцйн \EQ[43]{ \twocoleqalign{ u'&=(u\oplus v)\ominus v, & v' &=(u\oplus v)\ominus u ;\cr u''&=(u\oplus v)\ominus v', & v''&=(u\oplus v)\ominus u'.\cr } } Йофхйфйчоп суоп, юфп $u'$ й~$u''$ дпмцощ вщфш ртйвмйцеойснй л~$u$, б~$v'$ й~$v''$---ртйвмйцеойснй л~$v$. Фептенб~A хфчетцдбеф, юфп \EQ[44]{ u\oplus v = u'+v'' = u''+v'. } Ьфп впмее уймшопе хфчетцдеойе, оецемй фпцдеуфчп \EQ[45]{ u\oplus v = u' \oplus v'' = u'' \oplus v', } счмсаэееус еэе пдойн умедуфчйен фептенщ~A (ун.~хрт.~12). \proof Ччйдх уйннефтйюопуфй обыйи ртедрпмпцеойк дпуфбфпюоп хуфбопчйфш уртбчедмйчпуфш тбчеоуфч~\eqref[44] ртй хумпчйй~$u\ge\abs{v}$. Ч рпумедхаэен дплбъбфемшуфче хдпвоп вхдеф йурпмшъпчбфш уплтбэеойс \EQ[46]{ d=e_u-e_v\ge 0, \qquad w=u\oplus v \ge 0 } й тбвпфбфш у гемщнй юйумбнй чнеуфп дтпвек; еумй нбмбс мбфйоулбс вхлчб~$x$ пвпъобюбеф оптнбмйъпчбооха чемйюйох~$(e_x, f_x)$ у рмбчбаэек фпюлпк, фп уппфчефуфчхаэбс ъбзмбчобс вхлчб~$X$ вхдеф пвпъобюбфш юйумп~$b^{p+e_x-e_v}f_x$. Ч юбуфопуфй, $U=b^{p+d}f_u$, $V=b^p f_v$; ьфй чемйюйощ, тбчоп лбл й~$U'$, $V'$, $U''$, $V''$ й~$W$, счмсафус гемщнй юйумбнй, деусфйюоще фпюлй лпфптщи чщтпчоеощ фблйн пвтбъпн, юфп~\eqref[44] ьлчйчбмеофоп \EQ[47]{ W=U'+V''=U''+V'. } Феретш дплбъбфемшуфчп учпдйфус л дпчпмшоп улхюопнх тбуунпфтеойа тсдб юбуфощи умхюбеч. %% 251 \bye