\input style \chapno=3\subchno=3\chapnotrue S6--S9), тбчоп мйыш~$\floor{{1\over 2}\prod (2c_j+1)}$, б ое~$\prod(2c_j+1)$, фбл лбл бмзптйфн йнееф демп фпмшлп у фблйнй челфптбнй, х лпфптщи ретчщк оеохмечпк ьменеоф рпмпцйфемео.) Тбуунпфтйн лтбфлп ртйнет бмзптйфнб~$S$ ч декуфчйй, лпздб $a=3141592621$, $m=10^{10}$, $n=3$. Ч фбвм.~2 ч ретчщи уфтплби ртедуфбчмеощ~$Q$ й~$R$, ртйзпфпчмеооще об ыбзе~S1. Йуумедпчбойе ьфйи нбфтйг утедуфчбнй меннщ~A рпфтевхеф ртпчетлй $10^{29}$~умхюбеч, юфп чщипдйф ъб чуслйе зтбойгщ. Рпуме ыеуфй йфетбгйк об ыбзби~S2--S5 ьменеофщ нбфтйг~$Q$ й~$R$ уфбмй обнопзп неошые (ун.~уфтплх~7 фбвм.~2), й, упзмбуоп менне~A, феретш ч ьфпк опчпк ъбдбюе~$\abs{x_1}\le 3$, $\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 14$. Дбмшоекыее хнеошыеойе у рпнпэша меннщ~B ртйчпдйф обу л уфтпле~8: ч нбфтйге~$Q$ (уфтплб~7) ртйвбчмсен уфпмвег~3 л уфпмвгх~2, уфтплх~3 л уфтпле~2, ъбфен 3~тбъб чщюйфбен уфпмвег~3 йъ уфпмвгб~1 й фблце фтй тбъб уфтплх~3 йъ уфтплй~1. Ч нбфтйге~$R$ чщюйфбен уфпмвег~2 йъ уфпмвгб~3, ъбфен чщюйфбен уфтплх~2 йъ уфтплй~3, рпфпн ртйвбчмсен фтй тбъб уфпмвег~1 л уфпмвгх~3, б уфтплх~1 уопчб фтй {\def\cell#1{\vcenter{\halign{\hfil$\mathstrut##$\cr#1}}} \def\ncell#1{\cell{#1}\qquad} \def\lpar{\Bigg(}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}} \def\rpar{\Bigg)\hfill}%\left(\vphantom{\cell{\cr\cr}} \htable{Фбвмйгб 2} {Ртйнет бмзптйфнб S} {$#$\bskip&$\displaystyle#$\bskip&&\hfil$\displaystyle#$\bskip\cr \noalign{ \hrule \embedpar{Уфтплб \hfil Нбфтйгб~$Q$ \hfil} \hrule } 1. & \lpar & \cell{ 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr -31415\,92621\,00000\,00000\cr 36783\,50359\,00000\,00000\cr } & \cell{ -31415\,92621\,00000\,00000\cr 9869\,60419\,63216\,49642\cr -11555\,87834\,52871\,00939\cr } & \cell{ 36783\,50359\,00000\,00000\cr -11555\,87834\,52871\,00939\cr 13530\,26136\,35554\,28882\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} \vdots & \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill \cr \noalign{\smallskip} 7. & \lpar & \ncell{ 1160\,62418\cr -110\,45623\cr 324\,06810\cr } & \ncell{ -110\,45623\cr 189\,42062\cr -70\,72864\cr } & \ncell{ 324\,06810\cr -70\,72864\cr 99\,86024\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} 8. & \lpar & \ncell{ 114\,95774\cr 126\,21707\cr 24\,48738\cr } & \ncell{ 126\,21707\cr 147\,82358\cr 29\,13160\cr } & \ncell{ 24\,48738\cr 29\,13160\cr 99\,86024\cr } & \rpar \cr \noalign{ \hrule \vskip 5mm \hrule \embedpar{Уфтплб \hfil Нбфтйгб~$R$ \hfil} \hrule } 1. & \lpar & \cell{ 23399\,86555\,98770\,78523\cr 31415\,92621\,00000\,00000\cr -36783\,50359\,00000\,00000\cr } & \cell{ 31415\,92621\,00000\,00000\cr 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr 0\cr } & \cell{ -36783\,50359\,00000\,00000\cr 0\cr 1\,00000\,00000\,00000\,00000\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} \vdots & \multispan{4}\hfill$\vdots$\hfill \cr \noalign{\smallskip} 7. & \lpar & \ncell{ 13913\,04805\,78992\cr -11890\,71034\,30888\cr -53572\,76149\,67948\cr } & \ncell{ -11890\,71034\,30888\cr 10880\,07572\,69932\cr 46294\,02921\,32522\cr } & \ncell{ -53572\,76149\,67948\cr 46294\,02921\,32522\cr 2\,07645\,57301\,67787\cr } & \rpar \cr \noalign{\smallskip} 8. & \lpar & \ncell{ 13913\,04805\,78992\cr -11890\,71034\,30888\cr 57\,09301\,99916\cr } & \ncell{ -11890\,71034\,30888\cr 10880\,07572\,69932\cr -258\,17754\,30074\cr } & \ncell{ 57\,09301\,99916\cr -258\,17754\,30074\cr 1062\,71591\,61243\cr } & \rpar \cr }}% %% 122 тбъб ртйвбчмсен л уфтпле~3. Ьфп хнеошыбеф~$Q$ й~$R$, фбл юфп, упзмбуоп менне~A, феретш пуфбмпуш ртпчетйфш ъобюеойе~$\abs{x_1}\le 3$, $\abs{x_2}\le 3$, $\abs{x_3}\le 1$, юфпвщ обкфй бвупмафощк нйойнхн. Ч декуфчйе ртйчпдйфус нефпд ретевптб об ыбзби~S6--S9, лпфптщк обипдйф лпнвйобгйа~$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=0$, тебмйъхаэха нйойнбмшопе ъобюеойе~$x^TQx=1034718$. Ьфй чщюйумеойс нпцоп вщмп вщ удембфш у рпнпэша обуфпмшопк чщюйумйфемшопк нбыйолй ъб оеулпмшлп юбупч, ипфс ч обюбме ъбдбюб чщзмсдемб чеушнб чохыйфемшоп. Урелфтбмшощк феуф чретчще рпсчймус ч уфбфше Т.~Лпчьа й Т.~Нблжетупоб (R.~R.~Coveyou, R.~D.~MacPherson, Fourier Analysis of Uniform Random Number Generators, {\sl JACM,\/} {\bf 14} (1967), 100--119). Ч ьфпк уфбфше прйубо бмзптйфн, ч ухэопуфй рпдпвощк бмзптйфнх~$S$, ъб йулмаюеойен оеулпмшлп пфмйюопзп ртбчймб ртепвтбъпчбойс об ыбзе~S4. \excercises \ex[Н20] Чщчедйфе уппфопыеойе~(2) йъ~(1). \ex[Н20] Ртедрпмбзбс, юфп~$0\le s_1$~\dots, $s_n0$ ухэеуфчхеф гемпюйумеообс нбфтйгб~$U$, дефетнйобоф лпфптпк тбчео~$1$, й ртпйъчедеойе~$AUx\cdot AUx$ обипдйфус ч $\varepsilon\hbox{-плтеуфопуфй}$ нблуйнбмшопк ойцоек зтбойгщ ее ъобюеойк ртй~$(x_1, x_2,~\ldots, x_n)=(1, 0, 0,~\ldots, 0)$. Ъбфен дплбъбфш пвэее хфчетцдеойе йодхлгйек рп~$n$, ъбрйубч~$Ax\cdot Ax$ ч чйде~$\alpha(x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_n x_n)^2+g(x_2,~\ldots, x_n)$, зде $g$~уппфчефуфчхеф $(n-1)\times(n-1)\hbox{-нбфтйге}$~$A'$.] \ex[ЧН30] (Лпчьа й Нблжетупо). Рхуфш~$X_0$, $X_1$, $X_2$, ~\dots---рпумедпчбфемшопуфш гемщи юйуем, мецбэйи ч ртедемби~$0\le X_k $ юетеъ лпьжжйгйеофщ Жхтше рпумедпчбфемшопуфй~$\$. \ex[Н10] Хтбчоеойе~(8) рплбъщчбеф, юфп ъобюеойе~$c$ ч мйоекопк лпозтхьофопк рпумедпчбфемшопуфй у нблуйнбмшощн ретйпдпн ое чмйсеф об лпьжжйгйеофщ Жхтше, б йънеосеф мйыш "бтзхнеоф" лпнрмелуопзп юйумб~$f(s_1, ~\dots, s_n)$. Дтхзйнй умпчбнй, бвупмафопе ъобюеойе~$f(s_1,~\ldots, s_n)$ ое ъбчйуйф пф~$c$. Оп нпцоп мй чщвтбфш~$c$ фбл, юфпвщ оеумхюбкощк ьжжелф пдопк чпмощ~$f(s_1,~\dots, s_n)$ хойюфпцбмус вщ "ртпфйчпрпмпцощн" ьжжелфпн дтхзпк чпмощ~$f(s'_1,~\ldots, s'_n)$? \ex[ЧН23] Дплбцйфе, ое йурпмшъхс зепнефтйюеулйи бтзхнеофпч, юфп мавпе теыеойе "ртпвменщ~(b)", ужптнхмйтпчбоопк ч рпдрхолфе~C фелуфб, дпмцоп вщфш пдопчтенеооп теыеойен уйуфенщ хтбчоеойк~(28). \ex[ЧН30] Ч фелуфе пуфбмус ч феой дпчпмшоп чбцощк чпртпу: вщмп удембоп нпмюбмйчпе ртедрпмпцеойе, юфп, еумй~$A$---ртпйъчпмшобс оечщтпцдеообс нбфтйгб декуфчйфемшощи юйуем, жхолгйс~(18) \emph{йнееф} нйойнхн, лпфптщк \emph{дпуфйзбефус} об оелпфптпн гемпюйумеоопн челфпте~$x$. \medskip \item{(a)} Дплбцйфе, юфп обйвпмшыбс ойцосс зтбойгб чемйюйощ~(18), чъсфбс рп чуен оеохмечщн гемпюйумеоощн челфптбн~$x$, дпуфйзбефус ртй оелпфптпн~$x$, еумй~$A$---оечщтпцдеообс нбфтйгб. \item{(b)}~Рплбцйфе, юфп, еумй~$A$---чщтпцдеообс нбфтйгб, фблпзп оеохмечпзп гемпюйумеоопзп челфптб, об лпфптпн дпуфйзбефус обйвпмшыбс ойцосс зтбойгб~(18), нпцеф ое ухэеуфчпчбфш. \rex[24] Чщрпмойфе чтхюоха бмзптйфн~S дмс~$m=100$, $a=41$, $n=3$. Ъбнеойфе лпоуфбофх~"$1000$" об ыбзе~S3 юйумпн~"$3$". \ex[Н18] Юфп ртпйъпкдеф, еумй претбгйа "$k\asg n$" ч лпоге ыбзб~S1 ъбнеойфш об~"$\asg 1$"? \ex[Н25] Ое йулмаюеоп (ипфс ьфпзп еэе ое обвмадбмпуш), юфп бмзптйфн~S нпцеф ъбгйлмйфшус, рпчфптсс веулпоеюопе юйумп тбъ ыбзй~S2--S5. Рплбцйфе, юфп ьфп нпцеф ртпйъпкфй фпздб й фпмшлп фпздб, лпздб ртй рпумедпчбфемшопн чщрпмоеойй $n$~тбъ ыбзб~S4 ое ртпйуипдйф ртепвтбъпчбойк (ф.~е.\ оеф претбгйк~|TRANS|). \rex[Н28] Нпдйжйгйтхкфе бмзптйфн~S фбл, юфпвщ лтпне чщюйумеойс~$q$ ч оен пртедемсмус вщ обвпт гемщи юйуем~$s_1$,~\dots, $s_n$, хдпчмефчптсаэйи~(11) ртй~$s_1^2+\cdots+s_n^2=q$. [\emph{Хлбъбойе.} Бмзптйфн~S упитбосеф фпмшлп ъобюеойс~$Q$ й~$R$ йъ~(19), оп ое~$A$ й~$B$. Еумй упитбойфш ъобюеойс~$A$ й/ймй~$B$ ртй чщрпмоеойй бмзптйфнб, рп-чйдйнпнх, ое умйылпн фтхдоп вхдеф рпмхюйфш ъобюеойс~$s_1$,~\dots, $s_n$.] \ex[Н25] Обкдйфе $3\times 3\hbox{-нбфтйгх}$~$A$, фблха, юфп еумй~$Q=A^TA$ й~$R=Q^{-1}$, фп ыбзй~S2--S5 бмзптйфнб~S ойлпздб ое ъблпоюбфус ретеипдпн л ыбзх~S6 %% 124 (фбл юфп чщюйумеойс ойлпздб ое ртелтбфсфус). [\emph{Хлбъбойе.} Тбуунпфтефш "лпнвйобфптоще нбфтйгщ", ф.~е.\ нбфтйгщ, ьменеофщ лпфптщи йнеаф чйд~$a+b\delta_{ij}$; ут.~у~хрт.~1.2.3-39.] \ex[Н20] Рплбцйфе, юфп рпумедпчбфемшопуфш Жйвпобююй${}\bmod m$ умхцйф рмпийн йуфпюойлпн умхюбкощи юйуем, хведйчыйуш, юфп уппфчефуфчхаэбс жхолгйс~$f(s_1, s_2, s_3)$, пртедемеообс ч~(4), йнееф впмшыйе ойълпюбуфпфоще лпнрпоеофщ. \rex[Н24] Чщюйумйфе лпьжжйгйеофщ Жхтше~$f(s_1,~\dots, s_n)$ дмс мйоекопк лпозтхьофопк рпумедпчбфемшопуфй, пртедемеоопк чемйюйобнй~$X_0=1$, $c=0$, $m=2^e\ge 8$ й~$a \bmod 8=5$. Пвухдйфе, лбл пвпвэйфш урелфтбмшощк феуф дмс ьфпзп фйрб дбфюйлпч умхюбкощи юйуем (пртедемеоощк ч фелуфе фпмшлп дмс мйоекощи лпозтхьофощи рпумедпчбфемшопуфек у \emph{нблуйнбмшощн} ретйпдпн, фпздб лбл х пртедемеоопк ъдеуш рпумедпчбфемшопуфй дмйоб ретйпдб тбчоб~$m/4$). \ex[Н25] Ртпдембкфе ртедщдхэее хртбцоеойе, уюйфбс, юфп~$a\bmod 8=3$. \rex[Н30] Рпуфтпкфе бмзптйфн, рпдпвощк бмзптйфнх~S, ъб йулмаюеойен фпзп, юфп ч оен йурпмшъхефус ртепвтбъпчбойе~$U$, дмс лпфптпзп чуе оеохмечще оедйбзпобмшоще ьменеофщ обипдсфус ч \emph{уфпмвге}~$k$, б ое ч \emph{уфтпле}~$k$, лбл ч~(25). Утбчойфе ьфпф нефпд у бмзптйфнпн~S. Рплбцйфе, юфп ч ьфпн бмзптйфне чемйюйоб~$\prod (2c_j+1)$ ч ыбзе~S3 ойлпздб ое хчемйюйчбефус пф пдопк йфетбгйй л дтхзпк. \ex[Н50] Оеунпфтс об фп юфп ч ртйнете йъ хрт.~18 пуопчопк гйлм бмзптйфнб~S чщохцдео веулпоеюоп рпчфптсфшус, дмс "дчпкуфчеоопзп" бмзптйфнб йъ хрт.~22 фпф це ртйнет ое ртедуфбчмсеф ойлблпк ртпвменщ. Дмс хдпвуфчб вхден объщчбфш рпумедойк нефпд бмзптйфнпн~$S'$. Фбл лбл бмзптйфн~$S'$ ч ухэопуфй счмсефус бмзптйфнпн~S, ч лпфптпн рпнеосмйуш тпмснй нбфтйгщ~$Q$ й~$R$, фблце ухэеуфчхаф нбфтйгщ, ъбуфбчмсаэйе ъбгйлмйчбфшус й ьфпф бмзптйфн. Пфуадб чщфелбеф йдес лпнвйобгйй дчхи нефпдпч. Обртйнет, нщ нпцен йурпмшъпчбфш бмзптйфн~S, рплб по ое ъбуфтсоеф, ъбфен ретелмаюйфшус об бмзптйфн~$S'$ дп феи рпт, рплб \emph{ьфпф} ое ъбуфтсоеф, четохфшус ъбфен уопчб л бмзптйфнх~S й ф. д. Рпмшъхсуш фблйн лпнвйойтпчбоощн бмзптйфнпн й йзоптйтхс чефчмеойе об ыбзе~S3, нщ нпцен ртй тебмйъбгйй чщюйумйфемшопк ртпгедхтщ плбъбфшус ч пдопк йъ дчхи уйфхбгйк: (a)~хуфбобчмйчбефус гйлм, ч лпфптпн, лбцдщк йъ бмзптйфнпч~S й~$S'$ оелпфптщн пвтбъпн рпретенеооп ртепвтбъхаф~$Q$ й~$R$, фбл юфп чщюйумеойс ойлпздб ое унпзхф ртелтбфйфшус, ймй (b)~нщ рпмхюбен нбфтйгщ~$Q$ й~$R$, об лпфптще ое чмйсаф ой бмзптйфн~S, ой бмзптйфн~$S'$. Ьфй обвмадеойс, еуфеуфчеооп, ртйчпдсф л рпуфбопчле умедхаэйи фтеи чпртпупч, об лпфптще дпмцео вщфш дбо пфчеф, еумй обн охцоп йнефш рпмопуфша хдпчмефчптйфемшопе теыеойе чщюйумйфемшопк ртпвменщ, ужптнхмйтпчбоопк ч ьфпн тбъдеме. Нпцеф мй тебмйъпчбфшус умхюбк~(a)? Лбл дпмзп нпцоп йулбфш лпоуфбофщ~$\prod (2c_j+1)$ об ыбзе~S3 ч умхюбе~(b)? Ухэеуфчхеф мй пвэбс ртпгедхтб чщюйумеойс~$\min\{\, x^TQx \mid \hbox{гемще~$x\ne 0$}\,\}$ дмс рпмпцйфемшоп пртедемеоопк нбфтйгщ~$Q$, лпфптбс вщмб вщ мхюые, юен фпмшлп юфп прйубообс лпнвйобгйс бмзптйфнпч~$S$ й~$S'$? \emph{Ъбнеюбойе.} Чфптпк йъ рпуфбчмеоощи чщые чпртпупч нпцоп учеуфй л умедхаэенх: \emph{Рхуфш~$Q$---уйннефтйюобс рпмпцйфемшоп пртедемеообс $n\times n\hbox{-нбфтйгб}$ декуфчйфемшощи юйуем, х лпфптпк дйбзпобмшоще ьменеофщ тбчощ~$1$, б~$\abs{q_{ij}}\le 1/2$ дмс~$i\ne j$. Рхуфш~$R=Q^{-1}$, a~$\abs{r_{ij}}\le (1/2) r_{jj}$ дмс~$i\ne j$. Лбл. чемйлп нпцеф вщфш ртй ьфйи хумпчйси юйумп~$r_{11}$?} Дп уйи рпт ое чуфтеюбмйуш рпдпвоще нбфтйгщ, дмс лпфптщи~$r_{11}\ge 2$. Еумй ртйосфш чуе оедйбзпобмшоще ьменеофщ нбфтйгщ~$Q$ тбчощнй~$-1/n$, фп нпцоп обкфй, юфп~$r_{11}=2n/(n+1)$. Ьфпф ртйнет рплбъщчбеф, юфп ойлпздб оемшъс ртедрпмбзбфш, юфп лпоуфбофб об ыбзе~S3 ртйнеф ъобюеойе, неошыее~$3^n$, дмс ртпйъчпмшопк рпмпцйфемшоп пртедемеоопк нбфтйгщ, дбце ч умхюбе лпнвйобгйй бмзптйфнпч~S й~$S'$. Ч ртйнете дпуфйзбефус~$\max r_{11}$ дмс~$n=2$, оп ое дмс~$n=3$. \ex[Н20] Утбчойфе ртепвтбъпчбойе Жхтше~$f(s_1,~\ldots, s_n)$, ъбдбоопе жптнхмпк~(1), у \emph{ртпйъчпдыгек жхолгйек} пф $n$~ретенеоощи дмс~$F(t_1,~\ldots, t_n)$, onpeдемеоопк %% 125 пвщюощн пвтбъпн: $$ g(z_1, \ldots, z_n)=\sum_{0\le t_1 \ldots t_n1$---чойъ, оп ч пвпйи умхюбси лтйчбс пюеош вмйълб л ртснпк мйойй й нпцеф вщфш чмпцеоб, лбл рплбъбоп об тйухоле, нецдх дчхнс ртснщнй. \alg L.(Рпюфй мйоекоще рмпфопуфй.) Ьфпф бмзптйфн нпцоп йурпмшъпчбфш дмс чщтбвпфлй ъобюеойс умхюбкопк чемйюйощ~$X$ дмс мавпк рмпфопуфй тбуртедемеойс~$f(x)$, хдпчмефчптсаэек умедхаэйн хумпчйсн (ут.~у~тйу.~10): $$ \displaynarrow{ f(x)=0 \rem{дмс~$xs+h$;}\cr a-b(x-s)/h \le f(x) \le b-b(x-s)/h \rem{дмс~$s\le x \le s+h$.}\cr } \eqno(18) $$ \st[Рпмхюйфш~$U\le V$.] Чщтбвпфбфш дчб оеъбчйуйнщи умхюбкощи юйумб~$U$, $V$, тбчопнетоп тбуртедемеоощи нецдх охмен й едйойгек. Еумй~$U>V$, рпнеосфш неуфбнй~$U\xchg V$. \st[Ртпуфпк умхюбк?] Еумй~$V\le a/b$, ретекфй л~\stp{4}. %% 136 \st[Рпрщфбфшус еэе тбъ?] Еумй~$V>U+(1/b)f(s+hU)$, четохфшус пвтбфоп л ыбзх~\stp{1}. (Еумй~$a/b$ вмйълп л~$1$, ьфпф ыбз бмзптйфнб вхдеф йурпмшъпчбфшус ое умйылпн юбуфп.) \st[Чщюйумйфш~$X$.] Хуфбопчйфш~$X\asg s+hU$. \algend Дмс дплбъбфемшуфчб ртбчймшопуфй бмзптйфнб ъбнефйн, юфп, лпздб нщ ртйипдйн л ыбзх~L4, фпюлб~$(U, V)$---ьфп умхюбкобс \picture{Тйу. 11. Пвмбуфш "ртйосфйс теъхмшфбфб" ч бмзптйфне L.} фпюлб ч лчбдтбфе, йъпвтбцеоопн об тйу.~11, б йнеооп~$0\le U\le V \le U+(1/b)f(s+hU)$. Хумпчйс~(18) збтбофйтхаф, юфп $$ {a\over b}\le U+{1\over b}f(s+hU)\le 1. $$ Феретш четпсфопуфш фпзп, юфп~$X\le s+hx$ дмс~$0\le x \le 1$, тбчоб пфоеыеойа рмпэбдй умечб пф четфйлбмшопк мйойй~$U=x$ об тйу.~11 лп чуек рмпэбдй, ф.~е.\ $$ \int_0^x{1\over b}f(s+hu)\,du\bigg/ \int_0^1{1\over b}f(s+hu)\,du=\int_s^{s+hx}f(v)\,dv; $$ рпьфпнх $X$~йнееф охцопе тбуртедемеойе. Юфпвщ йурпмшъпчбфш ьфпф бмзптйфн, обн оепвипдйнп пртедемйфш~$a_j$, $b_j$, $s_j$, $h$ дмс рмпфопуфек четпсфопуфек~$f_{j+24}(x)$ (тйу.~9). Оефтхдоп чйдефш, юфп ртй~$1\le j \le 12$ $$ \displaynarrow{ f_{j+24}(x)={1\over p_j+24}\sqrt{2\over\pi}(e^{-x^2/2}-e^{-(j/4)^2/2}), \rem{$s_j\le x \le s_j+h$;}\cr h={1\over4}; s_j=(j-1)/4;\cr p_{j+24}=\sqrt{2\over\pi}\int_{s_j}^{s_j+h}(e^{-t^2/2}-e^{-(j/4)^2/2})\,dt.\cr } \eqno(19) $$ %% 137 Лтпне фпзп, $$ \eqalignter{ a_j&=f_{j+24}(s_j) & \rem{ртй~$1\le j \le 4$,}\cr b_j&=f_{j+24}(s_j) & \rem{ртй~$5\le j \le 12$;}\cr b_j&=-hf'_{j+24}(s_j+h) & \rem{ртй~$1\le j \le 4$,}\cr a_j&=f_{j+24}(x_j)+(x_j-s_j)b_j/h & \rem{ртй~$5\le j \le 12$,}\cr } \eqno(20) $$ зде~$x_j$---лптеош хтбчоеойс~$f'_{j+24}(x_j)=-b_j/h$. Рпумедоее тбуртедемеойе~$F_{37}(x)$ дпмцоп нпдемйтпчбфшус фпмшлп пдйо тбъ йъ юефщтеиупф. Поп йурпмшъхефус чуездб, лпздб дпмцео \picture{ Тйу.~12. Бмзптйфн "ртснпхзпмшойл-лмйо-ичпуф" дмс чщтбвпфлй оптнбмшоп тбуртедемеоощи умхюбкощи чемйюйо. } рпмхюйфшус теъхмшфбф~$X\ge 3$. Ч ьфпн умхюбе нпцоп ртйнеойфш нпдйжйлбгйа бмзптйфнб~P, лбл рплбъбоп ойце (ыбзй~Н8---Н9). Ртедпуфбчмсен юйфбфема чпънпцопуфш дплбъбфш, юфп ртйчедеоощк нефпд фпюео. Феретш ртйчпдйн ртпгедхтх рпмопуфша. \alg M.(Нефпд Нбтубмшй---Нблмбтеоб дмс оптнбмшощи умхюбкощи чемйюйо.) Ч ьфпн бмзптйфне йурпмшъхафус оелпфптще чурпнпзбфемшоще фбвмйгщ, хуфтпеооще, лбл пвRсуосмпуш ч фелуфе (ртйнетщ ртйчедеощ ч фбвм.~1 й~2). Бмзптйфн ртйчпдйфус дмс дчпйюопк нбыйощ, дмс деусфйюопк нбыйощ по уфтпйфус бобмпзйюоп. %% 138 \htable{Фбвмйгб 2}% {Ртйнетщ фбвмйг, йурпмшъхенщи ч бмзптйфне~M% \note{1}{Об ртблфйле дбооще дмс фбвмйг~$P$, $Q$, $D$, $E$ умедхеф дбчбфш у впмшыек фпюопуфша.} }% {\hfil$#$\bskip&\hfil\bskip$#$\bskip\hfil&&\hfil$#$&$#$\bskip\hfil\cr j & S[j] & &P[j] & & Q[j]& &D[j]& & E[j] \cr 1 & 0 & 0&.885 & 0&.881 & 0&.51 & 16 \cr 2 & 1\over 4 & 0&.895 & 0&.885 & 0&.79 & 8\cr 3 & 1\over 2 & 0&.910 & 0&.897 & 0&.90 & 5&.33\cr 4 & 3\over 4 & 0&.929 & 0&.914 & 0&.98 & 4 \cr 5 & 1 & 0&.945 & 0&.930 & 0&.99 & 3&.08 \cr 6 & 5\over 4 & 0&.960 & 0&.947 & 0&.99 & 2&.44 \cr 7 & 3\over 2 & 0&.971 & 0&.960 & 0&.98 & 2&.00 \cr 8 & 7\over 4 & 0&.982 & 0&.974 & 0&.96 & 1&.67 \cr 9 & 2 & 0&.987 & 0&.982 & 0&.95 & 1&.43 \cr 10 & 9\over 4 & 0&.991 & 0&.989 & 0&.93 & 1&.23 \cr 11 & 5\over 2 & 0&.994 & 0&.992 & 0&.94 & 1&.08 \cr 12 & 11\over 4 & 0&.997 & 0&.996 & 0&.94 & 0&.95 \cr 13 & 3 & 1&.000 \cr } \st[Рпмхюйфш~$U$.] Чщтбвпфбфш умхюбкопе юйумп~$U=.b_0b_1b_2\ldots{} b_t$. (Ъдеуш~$b$---вйфщ ч дчпйюопн ртедуфбчмеойй~$U$. Дмс иптпыек фпюопуфй~$t$ дпмцоп вщфш ое неошые~24.) Хуфбопчйфш~$\psi\asg b_0$. (Рпъце $\psi$~рпобдпвйфус дмс пртедемеойс ъоблб теъхмшфбфб.) \st[Впмшыпк ртснпхзпмшойл?] Еумй~$b_1b_2b_3b_4<10$, зде "$b_1b_2b_3b_4$"~пвпъобюбеф дчпйюопе гемпе юйумп~$8b_1+4b_2+2b_3+b_4$, хуфбопчйфш $$ X\asg A[b_1b_2b_3b_4]+.00b_5b_6\ldots{} b_t $$ й ретекфй л~\stp{10}. Йобюе, еумй~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6<52$, хуфбопчйфш $$ X\asg B[b_1b_2b_3b_4b_5b_6]+.00b_7b_8\ldots{}b_t $$ й ретекфй л~\stp{10}. Йобюе, еумй~$b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8<225$, хуфбопчйфш $$ X\asg C[b_1b_2b_3b_4b_5b_6b_7b_8]+.00b_9b_{10}\ldots{}b_t $$ й ретекфй л~\stp{10}. \st[Лмйо ймй ичпуф?] Обкфй \emph{обйнеошыее} ъобюеойе~$j$, $1\le j \le 13$, дмс лпфптпзп~$b_1b_2\ldots{}b_tV$, рпнеосфш йи неуфбнй~$U\xchg V$. (Феретш чщрпмосефус бмзптйфн~L.) Хуфбопчйфш~$X\asg S[j]+{1\over4}U$. \st[Ртпуфпк умхюбк?] Еумй~$V\le D[j]$, ретекфй л~\stp{10}. \st[Еэе пдоб рпрщфлб?] Еумй~$V>U+E[j](e^{-(X^2-S[j+1]^2)/2}-1)$, четохфшус л ыбзх~\stp{5}; ч ртпфйчопн умхюбе ретекфй л~\stp{10}. (Ьфпф ыбз чщрпмосефус у нбмпк четпсфопуфша.) \st[Рпмхюйфш~$U^2+V^2<1$.] Чщтбвпфбфш дчб опчщи умхюбкощи юйумб~$U$, $V$. Хуфбопчйфш~$W\asg U^2+V^2$. Еумй~$W\ge1$, рпчфптйфш ьфпф ыбз. \st[Чщюйумйфш~$X\ge 3$.] Хуфбопчйфш~$T\asg\sqrt{(9-2\ln W)/W}$. Хуфбопчйфш~$X\asg U\times T$. Еумй~$X>3$, ретекфй л~\stp{10}; ч ртпфйчопн умхюбе хуфбопчйфш~$X\asg V\times T$. Еумй~$X\ge3$, ретекфй л~\stp{10}; йобюе четохфшус л ыбзх~\stp{8}. (Рпумедоее ртпйуипдйф ч рпмпчйое чуеи умхюбеч, лпздб чщрпмосефус дбоощк ыбз.) \st[Ртйучпйфш ъобл.] Еумй~$\psi=1$, хуфбопчйфш~$X\asg -X$. \algend Чеуш бмзптйфн счмсеф упвпк чеушнб ртйсфощк ртйнет нбфенбфйюеулпк фептйй, зхуфп удпвтеоопк йъпвтефбфемшопуфша ртпзтбннйуфб. Ьфп ртелтбуобс йммауфтбгйс йулхууфчб ртпзтбннйтпчбойс. Фбвмйгщ~$A$, $B$ й~$C$ хце вщмй прйубощ. Пуфбмшоще фбвмйгщ, оепвипдйнще дмс бмзптйфнб~$M$, уфтпсфус умедхаэйн пвтбъпн; $$ \eqalign{ S[j]&=(j-1)/4, \rem{$1 \le j \le 13$}; \cr P[j]&=p_1+p_2+\cdots+p_{12}+(p_{13}+p_{25})+\cdots+(p_{12+j}+p_{24+j}), \rem{$1\le j \le 12$; $P[13]=1$;}\cr Q[j]&=P[j]-p_{24+j}, \rem{$1\le j \le 12$;} \cr D[j]&=a_j/b_j, \rem{$1\le j \le 12$;}\cr E[j]&=\sqrt{2\over\pi} e^{-(j/4)^2/2}/b_jp_{j+24}, \rem{$1\le j \le 12$.}\cr } \eqno(21) $$ [Чемйюйощ~$a_j$, $b_j$, $p_{j+24}$ пртедемсафус ч~(19) й~(20).] Ч фбвм.~2 ъобюеойс ртйчпдсфус фпмшлп у оеулпмшлйнй ъобюбэйнй гйжтбнй, оп ч обуфпсэек ртпзтбнне пой дпмцощ йнефш фпюопуфш, уппфчефуфчхаэха рпмопнх нбыйоопнх умпчх. Дмс чуеи чурпнпзбфемшощи фбвмйг бмзптйфнб~M фтевхефус 101~нбыйоопе умпчп. Ьфпф нефпд ютеъчщюбкоп вщуфтщк, фбл лбл 88\%~чтенеой тбвпфбаф фпмшлп ыбзй~M1, M2 й~M10, пуфбмшоще це ыбзй фблце ое умйылпн недмеооще. Об тйу.~9 нщ тбъдемймй йофетчбм пф~$0$ дп~$3$ об 12~юбуфек. Еумй вщ нщ тбъдемймй езп об впмшыее юйумп юбуфек, улбцен~48, рпобдпвймйуш вщ впмее дмйооще фбвмйгщ, оп ъбфп ртй ьфпн ч 97\%~умхюбеч чщюйумеойс пзтбойюйчбмйуш фпмшлп %%140 ыбзбнй~M1, M2, M10. Рпмоще фбвмйгщ лбл дмс дчпйюощи, фбл й дмс деусфйюощи нбыйо ртйчпдсфус ч уфбфше Нбтубмшй, Нблмбтеоб й Втьс ({\sl CACM,\/} {\bf 7} (1964), 4--10). Фбн дмс ьлпопнйй рбнсфй тбътбвпфбо дпрпмойфемшощк ртйен, учсъбоощк у ретелтщчбойен юбуфек фбвмйг~$A$, $B$, $C$ й~$S$.) {\sl (3)~Нефпд Фекютпечб.\/} Оптнбмшоще умхюбкоще чемйюйощ нпцоп рпмхюйфш фблце умедхаэйн пвтбъпн. Чщтбвпфбен 12~оеъбчйуйнщи умхюбкощи юйуем~$U_1$, $U_2$,~\dots, $U_{12}$, тбчопнетоп тбуртедемеоощи нецдх охмен й едйойгек. Рпмпцйн~$R=(U_1+U_2+\cdots+U_{12}-6)/4$. Чщюйумйн $$ X=((((a_9R^2+a_7)R^2+a_5)R^2+a_3)R^2+a_1)R, \eqno (22) $$ зде $$ \displaynarrow{ a_1=3.94984\,6138, \quad a_3=0.25240\,8784,\cr a_5=0.07654\,2912, \quad a_7=0.00835\,5968,\quad a_9=0.02989\,9776.\cr } \eqno (23) $$ Фблпе~$X$ вхдеф иптпыйн ртйвмйцеойен дмс оптнбмшопк умхюбкопк чемйюйощ. Ойлпздб ое рпмхюбефус умйылпн впмшыйи ъобюеойк~$X$, оп у четпсфопуфша, неошыек~$1/50000$, чщтбвбфщчбафус ъобюеойс, ртечщыбаэйе фе, зде нефпд тбвпфбеф ртбчймшоп. Нефпд пуопчбо об фпн, юфп $R$~йнееф \emph{ртйвмйъйфемшоп} оптнбмшопе тбуртедемеойе уп утедойн ъобюеойен охмш й уфбодбтфощн пфлмпоеойен~${1\over4}$. Рхуфш~$F_1(x)$---йуфйоопе тбуртедемеойе дмс~$R$, a~$F(x)$---оптнбмшопе тбуртедемеойе, пртедемсенпе жптнхмпк~(10). Рпмпцйн~$X=F^{-1}(F_1(R))$; фбл лбл~$F_1(R)$---тбчопнетоп тбуртедемеообс умхюбкобс чемйюйоб, $X$~вхдеф тбуртедемеоб оптнбмшоп. Жптнхмб~(22) ртедуфбчмсеф ртйвмйцеойе жхолгйй~$F^{-1}(F_1(R))$ рпмйопнпн ч ртпнецхфле~$\abs{R}\le 1$. {\sl (4)~Утбчоеойе нефпдпч.\/} Нщ ртйчемй фтй нефпдб дмс чщтбвпфлй оптнбмшощи умхюбкощи чемйюйо. Нефпд рпмстощи лпптдйобф дпчпмшоп недмеоощк, оп пвеуреюйчбеф бвупмафоха фпюопуфш. Езп мезлп ъбртпзтбннйтпчбфш, еумй еуфш уфбодбтфоще ртпзтбннщ дмс чщюйумеойс лчбдтбфопзп лптос й мпзбтйжнб. Нефпд Фекютпечб фблце мезлп ртпзтбннйтхефус, дмс оезп ое охцоп дтхзйи рпдртпзтбнн. Рпьфпнх по охцдбефус ч неошыек рбнсфй. Нефпд ьфпф ртйвмйцеоощк, ипфс дмс впмшыйоуфчб ртймпцеойк дбеф дпуфбфпюоха фпюопуфш (пыйвлб ое ртечщыбеф~$2\times 10^{-4}$ ртй~$\abs{R}\le 1$). Нефпд Нбтубмшй ъобюйфемшоп вщуфтее мавщи дтхзйи й рпдпвоп нефпдх рпмстощи лпптдйобф йнееф бвупмафоха фпюопуфш. Дмс оезп оепвипдйнщ рпдртпзтбннщ лчбдтбфопзп лптос, мпзбтйжнб й рплбъбфемшопк жхолгйй й, лтпне фпзп, чурпнпзбфемшоще фбвмйгщ дмс 100--400~лпоуфбоф. Рпьфпнх фтевпчбойс л рбнсфй дпчпмшоп чщуплйе. Пдоблп об впмшыйи нбыйоби улптпуфш нефпдб %% 141 \bye